SeniorenNet

Zij: 1+(-1) +1+(-1)+1+(-1)+... oneindige reeks.

Maken wij de som:

(1+(-1))+(1+(-1))+...=0 of 1+((-1)+1)+((-1)+1)+...=1

Welke som is juist?

Kotje,

Bij mijn weten is het antwoord 0,5.

Ergens in het internet staat dat er daarvoor een resem bewijzen zijn, maar ik heb er geen enkel gaan opzoeken.

Zoiets zoek ik in de USA.

Pastor

Volgens mij is het zowel 0 als 1.Bewijs heb ik hiervoor niet.Ik weet nog denk ik dat men eigenaardige dingen kan tegenkomen met oneindige reeksen.

Kotje,


Grandi reeks, 3 mogelijkheden.

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...

* * * * *

Zet haakjes.
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

* * * * *

Zet ook haakjes.
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Men noemt dit de Ellenberg-Mazur oplichterij.
Het wordt gebruikt in de knoop theorie (Algebra).

* * * * *

Nu nog 0,5.

Stel S = 1 − 1 + 1 − 1 + ...

Of 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + ...) = 1 − 1 + 1 − 1 + ... = S.

Of 1 - S = S

Of 1 = S + S = 2 S

Of S = 0,5 = 1 − 1 + 1 − 1 + ...

* * * * *

Wat gij bewijst is dat 0.5=0 of 0.5=1.

Wat natuurlijk onzin is

Kotje,

Er zijn er veel in het internet.
Allemaal van wiskundigen van vroeger.
En wie heeft er gelijk?

Pastoor,

Gij hebt gelijk.Wie niet antwoord kan geen onzin vertellen.Ik ben daar ook bij.

Bewijs van 0,5.

Als men een reeks neemt met een even aantal termen dan is de som 0.

1 - 1 = 1 - 1 +1 - 1 = 1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1 = 0.

Als men een reeks neemt met een oneven aantal termen dan is de som 1.

1 = 1 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1.

De oneindige reeks 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...... heeft geen even en geen oneven aantal termen, en kan dus nooit 0 en nooit 1 zijn.
Er is geen enkele reden waarom die reeks het ene of het andere neemt, en dan telt de wet van de waarschijnlijkheidsleer met het rekenkundig gemiddelde.

Waarschijnlijkheidsleer.
Er is een product met 2 elementen, namelijk 0 en 1.
De waarschijnlijkheid dat een element zich voordoet is gelijk aan het aantal keren dat een element zich voordoet gedeeld door de som van het aantal elementen.
De waarschijnlijkheid P (probability) dat 0 zich voordoet = 0 / 2.
De waarschijnlijkheid P (probability) dat 1 zich voordoet = 1 / 2.
Het rekenkundig gemiddelde is (0 / 2) + ( 1 / 2 ) = 1 / 2.

Dat rekenkundig gemiddelde is gebaseerd op de volgende logica: als men een munt heeft, met aan een kant het getal 0 en aan de andere kant het getal 1, en men werpt die munt heel veel keren, dan is het aantal keren dat 0 boven ligt gelijk aan het aantal keren dat 1 boven ligt, en vandaar hebben 0/2 en 1/2 evenveel kansen.

Leibniz.

* * * * *

Euler deed hetzelfde, maar dan met een eindige reeks, waarop hij de Euler Transform toepaste en het resultaat was 1/2.

Bernoulli en Lagrange hebben het ook geprobeerd.

1844. De Morgan zei dat als het resultaat niet 1/2 is, dan mag men de theorie van de trigonometrische reeksen vergeten.

1880. Frobenius met moderne wiskunde komt tot het resultaat 1/2.

Ik,alleen met gezond verstand, denk dat de som niet bestaat.

Kotje

Als de reeks eindig is, dan is het laatste cijfer 0 of 1.
De waarschijnlijkheid is 1/2 of 0,5.
Dat is 1 kans op 2 dat het een 0 is en 1 kans op 2 dat het een 1 is.
Dat is hetzelfde als wat jij zegt: het is 0 of 1 ..... ....wat de vraag genereert: jandorie, wanneer is het 0 en wanneer is het 1?



Als de reeks oneindig is mag men het vergeten.