GETALLEN, GETALLEN en nog GETALLEN ... LES 1
Er zijn vele soorten getallen; dat wisten we al.
We gaan ze hier op een rijtje zetten, in volgorde van invoeren.
Bedoeling is ook, als we bij 'problemen en probleempjes' een getalsoort
vernoemen, er niet altijd moet uitgelegd worden waar het over gaat.
1) de NATUURLIJKE GETALLEN: N
Die kennen we zeker, N: 0, 1, 2, 3, 4, ... enz. oneindig doorlopend.
Ze werden ingevoerd om het aantal elementen, het aantal 'stuks', in een
verzameling te bepalen.
We voeren er ook bewerkingen mee uit.
de OPTELLING, vb 5+3 = 8; steeds mogelijk in N.
de VERMENIGVULDIGING, vb 5.3 = 15; ook steeds mogelijk in N,
maar ...
de AFTREKKING, vb 8-3 = 5, ok, doch 13-25 = ?? onmogelijk in N
Daarom voeren we nieuwe getallen in.
2) de GEHELE GETALLEN: Z
We behouden de natuurlijke getallen en voegen er nieuwe bij.
Z: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... oneindig doorlopend in twee richtingen.
We voeren nieuwe bewerkingen in.
de AFTREKKING, vb 8-5 = 3 en 13-25 = -12, steeds mogelijk in Z.
de DELING, vb 8:2 = 4, -35:7 = -5, ok, doch 17:3 = ?? gaat niet in Z.
Daarom voeren we nieuwe getallen in.
3) de RATIONALE GETALLEN Q
We behouden de gehele getallen en voegen er nieuwe bij,
namelijk alle breuken met teller en noemer een geheel getal.
voorbeelden: a = 15:8, b = 17:3 en d = 288:55
Iedere breuk kunnen we ook schrijven als een getal met een komma;
dat zijn de DECIMALE VORMEN van de RATIONALE GETALLEN.
Onze voorbeelden (-neem een eenvoudig zakrekenmachientje-)
a = 15:8 = 1,875
b = 17:3 = 5,66666666...
c = 288:55 = 5,236363636...
a is een BEGRENSDE DECIMALE VORM
b en c zijn REPETERENDE DECIMALE VORMEN (lopen oneindig door)
Bij repeterende vormen is er een 'repeterend deel' dat oneindig
terugkomt; dat noemen we de PERIODE
Bij b is de periode 6,
Bij c is de periode 36.
Zie je nog een verschil tussen de vormen van b en c?
Bij b begint de periode onmiddellijk na de komma;
we spreken van een ZUIVER REPETERENDE vorm.
Bij c hebben we na de komma eerst een deel dat niet repeteert;
we spreken van een GEMENGD REPETERENDE vorm.
Volgende les, na N, Z en Q nog verdere uitbreidingen van de getallen.
En nu, een paar toepassingen voor thuis.
Je kan altijd van breuk naar decimale vorm;
tik in 25:8 en je leest 3,125.
Omgekeerd nu kun je met rekenmachientjes die 'veel' kunnen ook van
decimale vorm naar breukvorm (-ik heb er geen-).
Zo typ je 3,125 en dan knop ??? en je leest 25/8.
Hoe doen wij het nu?
a = 1,875 = 1875/1000 = 375/200 = 75/40 = 15/8
b = 5,666666...
dan 10b = 56,6666666... (1)
en b = 5,666666666 (2)
dus (1) - (2) geeft 10b - b = 56,66666... - 5, 66666...
of 9b = 51 en b = 51/9
wat deden we?
getal vermenigvuldigen met 10, 100, ... tot we ná de periode zitten,
dan de oorspronkelijke vorm aftrekken en de komma's zijn weg.
c = 5,236363636 ... = ?
eerst maal 10, 100, 1000 ... tot ná eerste periode,
hier 1000c = 5236,363636... (1)
dan getal maal 10, 100, 1000 ... tot vóór eerste periode,
hier 10c = 52,363636 ... (2),
dan (1) - (2),
1000c - 10c = 5236,363636... - 52,363636....
990c = 5184 (weg periode!!!)
c = 5184/990 = ... vereenvoudigen ... = 288/55
voor thuis:
1) schrijf decimaal,
a = 57/8, b= 23/7, c= 53:18
2) schrijf in breukvorm,
a = 45,25 b = 13,12121212... c= 4,1523232323...
tot volgende dinsdag, ten laatste,
denook
