Wiskundige problemen en probleempjes 2

goede avond iedereen,

eerste evaluatie:

vraag 10) - lotte - ok
was ook de vraag die vlugst kon worden gevonden,

vraag 4) - pastoor - ok,
sinus 30° in rechthoekige driehoek en we zijn er,

vraag 7) - sloeberkebebo, lotte (en pastoor),
'voorlopig' allen juist,
de een al wat meer juist dan de andere.
Heb nu weinig tijd.
Als alle vragen zijn opgelost kom ik hier op terug, met meer uitleg
over het mooie van rijen, (andere dan Rekenkundige en Meetkundige,
weet je nog?)

vraag 8 ) - troontje - ok,
en inderdaad een mooie tekening,

tot morgen,
denook,

ps. nog eens mijn stokpaardje ...
als de vier leerlingen én de leraar samen hier VIJFTIG keer kwamen
kijken, dan ... blijven er nog 152!!! andere bezoekers over.
Waarom, als er zoveel 'kijkers' zijn, komt er niet eens een nieuwe
speler bij? Steeds van harte welkom!

denook,

vraag 3
PYT 795
HAG 468
ORAS 1263

Goede avond Denook en de klasgenoten,

1) Het quotiënt van een deling is 4 en de rest is 15. Als de som van Deeltal, deler, quotiënt en rest gelijk is aan 124, bereken dan Deeltal en deler.
Stel deeltal = D, deler = d, quotiënt = q, rest = r.

Opgave:
(D/d) = 4 en de rest is 15. (1)
D + d + q + r = 124. (2)

Uit (1) volgt dat d groter moet zijn dan 15.

Stel d = 16.
Dan is (1): (79/16) = 4 met rest 15. En (2): 79 + 16 + 4 + 15 = 114.
Niet goed ( 10 te weinig, dus 18 ).

Stel ( d = 18 ).
Dan is (1): 87/18= 4 met rest 15. En (2): 87 + 18 + 4 + 15 = 224. Juist.

Antwoord: deeltal = 87 en deler = 18.

Goeden avond allemaal
Vraag 5
Ik denk antwoord E) oneindig

Groetjes Sloeber

Goede avond iedereen,

vraag9)

breuk is 3/7
3+2=5
7-2=5
5/5=1

3+1=4
7+1=8
4/8=1/2
----------------------------------

vraag 3 )met andere cijfers

-798=PYT
-632=HAG
1430=ORAS


troontje,

goede avond iedereen,
vervolg:

vraag 3) lotte en troontje - ok
er is inderdaad meer dan een juist antwoord,

vraag 1) pastoor - ok,
met vergelijkingen:
we weten: q = 4 en r = 15 (1)
dat geeft D = 4d + 15 (2)
ook gegeven D + d + q + r = 124 (3)
we brengen (1) en (2) in (3):
(4d + 15) + d + 4 + 15 = 124
5d + 34 = 124
5d = 90 of d = 18
(2) wordt zo: D = 4.18 + 15 = 87

vraag 5) sloeberkebeo - niet ok,
drie verschillende boloppervlakken kunnen een cirkel gemeen hebben,
en dat betekent 'oneindig veel punten gemeenschappelijk';
dus antwoord E) was niet juist,

vraag 9) troontje - ok,
de gevraagde breuk was inderdaad 3/7.

blijven over: vragen 2, 5 en 6,
tot morgen,
denook

Goede avond allemaal.

vraag 5, poging tot oplossing.

5) Het aantal punten die drie verschillende boloppervlakken met drie verschillende middelpunten kunnen gemeenschappelijk hebben is nooit gelijk aan A) 0, B) 1, C) 2, D) 3, E) oneindig.

Als bol-1, bol-2 en bol-3 mekaar niet raken, dan zijn er 0 gemeenschappelijke punten.

Als bol-1 bol-2 raakt, maar niet bol-3, dan is er 1 gemeenschappelijk punt.

Als bol-1 raakt aan bol-2 EN bol-3, dan zijn er 2 gemeenschappelijke punten.
In dit geval kan bol-3 raken aan bol-2, dan:
* heeft bol-1 2 gemeenschappelijke punten.
* heeft bol-2 2 gemeenschappelijke punten.
* heeft bol-3 2 gemeenschappelijke punten.
En geen enkele bol heeft 3 gemeenschappelijke punten.

Antwoord: D) 3

Pythagoras oplossingen.
897 – 643 – 1540,
897 - 506 – 1403,
897 - 523 – 1420,
897 - 563 – 1460,
897 - 623 - 1520.

Goeie avond denook en allen hier

vraag 2

n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)....+(n+9) <200
10n+45=<200
10n<200-45
10n <155
of kleinste waarde van n = 15

Goede avond Denook en allemaal.

Vraag 6) Als sinx + cosx = A, dan is sin³x + cos³x = …
A) A³, B) A.(A² - 3)/4, C) A.(A² + 3)/4, D) A.(3 – A²)/2, E) A.(A² + 1)/2

1. Heb eerst derde machten en sinus en cosinus zitten berekenen.
Dat kan, maar is zeer omslachtig. Dus overgaan naar tweede machten.
Met “x³ + y³” in Google leverde Facebook het antwoord.
http://www.facebook.com/pages/X%C2%B3y% ... 1856840630
(x³ + y³) = (x + y)(x² - xy +y²)

2. Eerst algebra (zien of dit juist is).
(x³ + y³) = (x + y)(x² - x.y +y²)
(x³ + y³) = x.x² - x.x.y + x.y² + y.x² - y.x.y + y.y²
(x³ + y³) = x³ – x².y + x².y + x.y² - x.y² + yy²
(x³ + y³) = (x³ + y³)

3. Dan sinus en cosinus.
(x³ + y³) = (x + y)(x² - x.y +y²)
sin³x + cos³x = (sinx + cosx)(sin²x - sinx.cosx + cos²x)
sin³x + cos³x = A.(sin²x - sinx.cosx + cos²x) en vermits (sin²x + cos²x = 1)
sin³x + cos³x = A.(1 - sinx.cosx) (1).

4. Dan "sinx.cosx" herschrijven in functie van A.
(sinx + cosx) = A
(sinx + cosx)² = A²
(sinx + cosx)² = (sin²x + 2.sinx.cosx + cos²x) = A²
en vermits (sin²x + cos²x = 1)
(sinx + cosx)² = 1 + 2(sinx.cosx) = A²
Of A² = 1 + 2(sinx.cosx) of sinx.cosx = (A² - 1)/2 (2)

5. Tenslotte.
(1): sin³x + cos³x = A.(1 - sinx.cosx)
(2): sinx.cosx = (A² - 1)/2 (2)

En (2) in (1):
sin³x + cos³x = A.(1 – (A²-1)/2) = A.((2 – A² + 1)/2) = A.(3 – A²)/2

Oplossing: D) sin³x + cos³x = A.( 3 –A² )/2.
oef.

goede avond iedereen,
eindevaluatie:

vraag 5) pastoor - ok,
uitleg niet helemaal correct,
- als bol 1 en 2 raken en bol 3 niet raakt,
dan zijn er GEEN gemeenschappelijke punten
- als bol 1, 2 en 3 niet raken kunnen ze wel nog 'snijden'.
Juiste uitleg:
a) Boloppervlakken 1, 2 en 3 volledig buiten elkaar: 0 punten gemeen,
b) Bol 1, 2 en 3 raken elkaar twee aan twee in zelfde punt: 1 punt gemeen
c) boloppervlakken 1 en 2 snijden elkaar volgen een cirkel en bolopper-
vlak 3 snijdt deze cirkel in twee punten : 2 punten gemeen
d) boloppervlakken 1, 2 en 3 snijden elkaar twee aan twee volgens een
zelfde cirkel: oneindig veel punten gemeen.
Besluit: DRIE punten gemeen kan niet,
want als twee bollen drie punten gemeen hebben, hebben ze ook de cirkel
door die punten gemeen.
(voelt sloeberkebeo zich niet geroepen voor een figuur van elk geval?)

Vraag 2) lotte - ok
en mooi opgebouwd,

vraag 6 pastoor - ok, mooi,
en dikke proficiat.
Dat was nu wel een typische pastoors-vraag.

morgen of maandag meer uitleg over de 'rij' van vraag 7.
Wie heeft er 'meest' gelijk.

groetjes en tot dan ... denook

goeie middag iedereen,

een nawoordje over 'rijen',
naar aanleiding van vraag 7 en twee verschillende antwoorden ...

We hebben ooit (-toen er hier ook nog lesjes werden gegeven-) REKEN-
KUNDIGE en MEETKUNDIGE Rijen gezien.
Weet je nog:
R.R. vb: 5, 8, 11, 14, 17, 20 ..., t(1) = 5 en v = 3
elke term is gelijk aan de vorige, vermeerderd met een vast getal,
M.R. vb: 5, 10, 20, 40, 80, ..., t(1) = 5 en r = 2
elke term is gelijk aan de vorige, vermenigvuldigd met een vast getal.

Een andere merkwaardige rij is de HARMONISCHE RIJ.
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, .... , 1/n, ....
Het merkwaardige hier is dat, als men alle breuken omkeert (teller wordt
noemer en omgekeerd), iedere term het gemiddelde is van de termen
waar hij tussen staat:
Zo geeft 1/4, 1/5, 1/6 ... 5 is gemiddelde van 4 en 6.

Men kan een rij op verschillende manieren bepalen.
1) door OPSOMMING,
zoals alle vorige voorbeelden.

2) door een EXPLICIET voorschrift
we geven een functievoorschrift in n, of t(n) = f(n), waarmee iedere term
kan bepaald worden voor n = 1, 2, 3, 4, 5, ...
vb t(n) = (2n²-1)/n²
Zo vinden we de vijfde term door n te vervangen door 5;
dat geeft: t(5) = (2.5²-1)/5² = 49/25
door opsomming zouden we hier krijgen 1, 7/4, 17/9, 31/16, 49/25, ...

3) door een RECURSIEF voorschrift
we geven een functievoorschrift voor elke term, in functie van de vorige
term, of t(n) = f(t(n-1))
voorbeeld: t(n) = t²(n-1) - 5, én t(1) = 2, in woorden:
iedere term is het kwadraat van de vorige term, verminderd met 5,
én de eerste term is 2,
door opsomming geeft dat: 2, -1, -4, 15, 220, 48395, ...

Soms geeft men een recursief voorschrift waarbij men elke term schrijft
in functie van de twee vorige termen; men moet dan uiteraard de eerste
twee termen geven om te kunnen starten.
Een zeer mooi voorbeeld daarvan is de rij van FIBONACCI;
hier geldt: elke term is de som van de twee voorgaande termen,
of t(n) = t(n-1) + t(n-2), met t(1) = 1 en t(2) = 1,
dat geeft door opsomming: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
een zeer merkwaardige rij is dat met meerdere toepassingen.

En nu vraag 7 van vorige problemenreeks: 12, 42, 48, 168, ...

sloeberkebebo en pastoor maken ervan: 12, 42, 4.12, 4.42, 4.48=192, ...
met recursief voorschrift luidt dat
t(n) = 4.t(n-2), met t(1) = 12 en t(2) = 42

lotte maakt ervan: 12, 42, 48, 168, 1722, ...
met recursief voorschrift luidt dat
t(n) = 2.(t(n),van achter naar voor gelezen), met t(1) = 12

De twee rijen kennen een verschillend verloop verder en ik had beide
antwoorden juist gerekend.
Waarom stel ik het antwoord van lotte nu iets hoger?
Beiden geven een recursieve opbouw, maar bij lotte gaat dat door te
starten met t(1), terwijl in de vorige opbouw men t(1) én t(2) moet geven.

volgende reeks problemen en probleempjes op di 10 mei a.s.,
tot dan, denook

Tekeningen voor de vragen dezen avond van meester Denook

dinsdag 10 mei 2011,

wiskundige problemen en probleempjes,

1) Schrijf als een macht van 2,
(16 tot de macht 16) / (8 tot de macht 8 )

2) Ik zie één hoekje van een dobbelsteen. Dit hoekje is leeg.
Hoe groot is de kans dat dit een hoekje van de ‘2’ is?

3) Ik heb 2006 vierkante papiertjes met zijde 1.
Daarmee kan ik een rechthoek leggen van 1 x 2006.
Welke rechthoeken kan ik nog leggen met deze 2006 stukjes?

4) Op de figuur van sloeberkebebo zien we een cirkeloppervlak, verdeeld in vier gelijke delen. Rond de cirkel een tweede cirkel, zodat een ‘ring’ ontstaat tussen de twee cirkels.
Als de oppervlakte van de ring gelijk is aan de oppervlakte van het vierde deel van de binnenste cirkel, bereken dan de verhouding:
(omtrek binnenste cirkel) / (omtrek buitenste cirkel).

5) Als V staat voor ‘Vierkantswortel’, welke uitspraak is dan waar?
A) V1 + V1 + V1 = V1.V1.V1,
B) V2 + V2 + V2 = V2.V2.V2,
C) V3 + V3 + V3 = V3.V3.V3,
D) V4 + V4 + V4 = V4.V4.V4,
E) V5 + V5 + V5 = V5.V5.V5

6) Als een telefoonnummer uit 6 cijfers bestaat en het eerste is geen 0, hoeveel telefoonnummers zijn er dan mogelijk waar minstens eenmaal het cijfer 7 in voorkomt?
(tip: zoek hoeveel telefoonnumers er in totaal mogelijk zijn,
zoek daarna hoeveel nummers er zijn ‘zonder’ een ‘7’ in,
zoek tenslotte het verschil tussen beide getallen)

7) Jos rijdt met een nieuwe auto eerst 40 km ‘één op twaalf’ (dat wil zeggen 12 km met 1 liter benzine).
Daarna rijdt hij 100 km ‘één op vijftien’.
Eén op hoeveel rijdt jos dan over het ganse traject?

8 ) In de figuur van sloeberkebebo is AD de deellijn in hoek A van driehoek ABC. De evenwijdige aan AD door B snijdt verlengde van AC
in F..
Dan is de lengte van AF gelijk aan:
A) AB, B) AC, C) AD, D) BC, E) BF?


Vermits Troontje op verlof is blijven (normaal*) slechts 3 spelers over;
daarom maar 8 in plaats van 10 oefeningen dit keer,

veel succes, tot morgen, denook

* nieuwe spelers steeds welkom ...

denook,

voor vraag 5 denk ik C

goeie avond aan allen
lotte.