Wiskundige problemen en probleempjes 2
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Goede avond Denook en de anderen.
Vraag 9) In de figuur heeft de kleinste ruit een horizontale en een verticale diagonaal van gelijke lengte. De tweede ruit heeft dezelfde horizontale diagonaal terwijl de verticale diagonaal tweemaal langer is dan die van de kleinste ruit. De derde ruit heeft dezelfde verticale diagonaal als de tweede en de horizontale diagonaal is nu tweemaal langer dan die van de tweede ruit. Als we zo verder gaan, wat is dan de omtrek van de zesde ruit, als je
weet dat de omtrek van de kleinste ruit gelijk is aan 2.(wortel2)
Stel verticale diagonaal is v en de horizontale diagonaal is h.
Pythagoras op 1 van de 4 rechthoekige driehoeken in de ruit.
Lengte van de zijde: √((v/2)² + (h/2)²).
De omtrek van de ruit is 4 maal de zijde: 4√((v/2)² + (h/2)²).
Omtrek kleinste ruit is: 2√2. Bij de kleinste ruit is h = v.
Omtrek:
4√((v/2)² + (v/2)²) = 4√(v²/4 + v²/4) = 4√(2v²/4) = 2√(2v²) = 2√2
Voor de kleinste ruit is v = h = 1.
Ruit 1: v=1, h=1. Omtrek is 4√((0,5)² + (0,5)²) = 4√(0,5) = 2√2.
Ruit 2: v=2, h=1. Omtrek is 4√((1)² + (0,5)²) = 4√(1,25) = 2√5.
Ruit 3: v=2, h=2. Omtrek is 4√((1)² + (1)²) = 4√2 = 2√8.
Ruit 4: v=4, h=2. Omtrek is 4√((2)² + (1)²) = 4√5 = 2√20.
Ruit 5: v=4, h=4. Omtrek is 4√((2)² + (2)²) = 4√8 = 2√32.
Ruit 6: v=8, h=4. Omtrek is 4√((4)² + (2)²) = 4√20 = 2√80.
De omtrek van de zesde ruit is 2√80.
Vraag 9) In de figuur heeft de kleinste ruit een horizontale en een verticale diagonaal van gelijke lengte. De tweede ruit heeft dezelfde horizontale diagonaal terwijl de verticale diagonaal tweemaal langer is dan die van de kleinste ruit. De derde ruit heeft dezelfde verticale diagonaal als de tweede en de horizontale diagonaal is nu tweemaal langer dan die van de tweede ruit. Als we zo verder gaan, wat is dan de omtrek van de zesde ruit, als je
weet dat de omtrek van de kleinste ruit gelijk is aan 2.(wortel2)
Stel verticale diagonaal is v en de horizontale diagonaal is h.
Pythagoras op 1 van de 4 rechthoekige driehoeken in de ruit.
Lengte van de zijde: √((v/2)² + (h/2)²).
De omtrek van de ruit is 4 maal de zijde: 4√((v/2)² + (h/2)²).
Omtrek kleinste ruit is: 2√2. Bij de kleinste ruit is h = v.
Omtrek:
4√((v/2)² + (v/2)²) = 4√(v²/4 + v²/4) = 4√(2v²/4) = 2√(2v²) = 2√2
Voor de kleinste ruit is v = h = 1.
Ruit 1: v=1, h=1. Omtrek is 4√((0,5)² + (0,5)²) = 4√(0,5) = 2√2.
Ruit 2: v=2, h=1. Omtrek is 4√((1)² + (0,5)²) = 4√(1,25) = 2√5.
Ruit 3: v=2, h=2. Omtrek is 4√((1)² + (1)²) = 4√2 = 2√8.
Ruit 4: v=4, h=2. Omtrek is 4√((2)² + (1)²) = 4√5 = 2√20.
Ruit 5: v=4, h=4. Omtrek is 4√((2)² + (2)²) = 4√8 = 2√32.
Ruit 6: v=8, h=4. Omtrek is 4√((4)² + (2)²) = 4√20 = 2√80.
De omtrek van de zesde ruit is 2√80.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
sloeberkebebo - Lid geworden op: 04 dec 2007, 13:51
- Locatie: Roeselare
't Is just pastoor
Hier een andere benadering van het probleem
Sloeber
Hier een andere benadering van het probleem
Sloeber
Meten is weten - Carpe diem
-
sloeberkebebo - Lid geworden op: 04 dec 2007, 13:51
- Locatie: Roeselare
Goede avond allemaal
Vraag 3
C) cos54°
Groetjes
Sloeber
Vraag 3
C) cos54°
Groetjes
Sloeber
Meten is weten - Carpe diem
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Juist Sloeberkebebo,
Eigenlijk had ik alleen maar ruit 6 uit te rekenen.
Maar heb ze allemaal gedaan.
Er zijn twee reeksen in de resultaten.
De oneven ruiten 1, 3, 5, 7, 9 .... hebben
in de vierkantswortel een macht van 1, 3, 5, 7, 9 ... van 2.
De even ruiten 2, 4, 6, 8, 10 ... hebben
in de vierkantswortel een getal beginnend met 5
dat telkens 4 maal groter wordt.
Eigenlijk had ik alleen maar ruit 6 uit te rekenen.
Maar heb ze allemaal gedaan.
Er zijn twee reeksen in de resultaten.
De oneven ruiten 1, 3, 5, 7, 9 .... hebben
in de vierkantswortel een macht van 1, 3, 5, 7, 9 ... van 2.
De even ruiten 2, 4, 6, 8, 10 ... hebben
in de vierkantswortel een getal beginnend met 5
dat telkens 4 maal groter wordt.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
goede avond iedereen,
weer vier problemen juist opgelost:
vraag 12) - lotte ok,
vraag 9) - pastoor - ok,
vraag 3) - sloeberkebebo - ok,
vraag 2) - troontje - ok,
mooi zo,
blijven over vragen 4 en 11,
tot straks of morgen,
denook
weer vier problemen juist opgelost:
vraag 12) - lotte ok,
vraag 9) - pastoor - ok,
vraag 3) - sloeberkebebo - ok,
vraag 2) - troontje - ok,
mooi zo,
blijven over vragen 4 en 11,
tot straks of morgen,
denook
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Goede avond Denook en de anderen.
Ik had niet voorzien deze te maken.
Op hoop van zege (misschien is het juist).
Vraag 4) In een doos zitten rode, witte en blauwe knikkers; 15 in totaal.
Ik neem steeds twee knikkers uit de doos, bekijk ze en leg ze terug.
Uiteindelijk blijkt dat de kans dat ik een witte en een rode knikker trek, 1/3 is. Hoeveel blauwe knikkers zitten in de doos?
Het aantal groepjes bij het nemen van 2 knikkers is een combinatie.
C(15,2) = 15!/(2!13!) = (15.14)/2 = 105
Een derde of 35 keren is er (r + w).
Dat is 35 keren rood en 35 keren wit.
Twee derde of 70 keren is er
((r + r), ( w + w), (r + b), (w + b) en (b + b)).
Dat is 21 keren rood, 21 keren wit en 28 keren blauw..
Samengevoegd: 56 keren rood en 56 keren wit en 28 keren blauw.
Of verhouding 2, 2, 1.
Antwoord: er zijn 3 blauwe knikkers.
Ik had niet voorzien deze te maken.
Op hoop van zege (misschien is het juist).
Vraag 4) In een doos zitten rode, witte en blauwe knikkers; 15 in totaal.
Ik neem steeds twee knikkers uit de doos, bekijk ze en leg ze terug.
Uiteindelijk blijkt dat de kans dat ik een witte en een rode knikker trek, 1/3 is. Hoeveel blauwe knikkers zitten in de doos?
Het aantal groepjes bij het nemen van 2 knikkers is een combinatie.
C(15,2) = 15!/(2!13!) = (15.14)/2 = 105
Een derde of 35 keren is er (r + w).
Dat is 35 keren rood en 35 keren wit.
Twee derde of 70 keren is er
((r + r), ( w + w), (r + b), (w + b) en (b + b)).
Dat is 21 keren rood, 21 keren wit en 28 keren blauw..
Samengevoegd: 56 keren rood en 56 keren wit en 28 keren blauw.
Of verhouding 2, 2, 1.
Antwoord: er zijn 3 blauwe knikkers.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
lotte - Lid geworden op: 26 apr 2005, 13:47
- Locatie: Tielt
ik had ook drie blauwe pastoor maar anders berekend.
Ik weet ook niet dat het juist is; we zien wel later.
Met de 15 knikkers kunnen we dus 15*14:2 = 105 koppels nemen.
Het aantal koppels met rood en wit is daar een derde van dus 35.
Als r en w hat eental rode en witte knikkers zijn moet dus r*w=35.
Dat kan alleen als r=5 en w=7 of omgekeerd. Zo is r+w=12
en blijven er 3 blauwe over.
groetjes
lotte
Ik weet ook niet dat het juist is; we zien wel later.
Met de 15 knikkers kunnen we dus 15*14:2 = 105 koppels nemen.
Het aantal koppels met rood en wit is daar een derde van dus 35.
Als r en w hat eental rode en witte knikkers zijn moet dus r*w=35.
Dat kan alleen als r=5 en w=7 of omgekeerd. Zo is r+w=12
en blijven er 3 blauwe over.
groetjes
lotte
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Lotte,
Dit was het denkwerk.
Men neemt tegerlijkertijd 2 knikkers, en vandaar de C(2,15).
Bij het nemen van 2 knikkers is 1/3 onregelmatig, komen statistisch meer voor dan de anderen. Dat zijn 35 beurten, 35 witte en 35 rode knikkers.
Dit impliceert ook dat de rest statistisch wel regelmatig is. Indien niet, was er een additionele voorwaarde in de opgave. Vandaar dat de 70 keren 2 knikkers "(r + r), ( w + w), (r + b), (w + b) en (b + b)" voor elk element evenveel keren voorkomen, namelijk 70/10 of 7. En vandaar komt
r 3.7 = 21, w 3.7 = 21 en b 4.7 = 28.
De sommatie van de 70 en 35 levert "56 - 56 -28" of "2 -2 -1",
waaruit volgt dat er 3 blauwe zijn.
* * * * *
Dit begrijp ik niet:
"Als r en w het aantal rode en witte knikkers zijn moet dus r*w=35".
Opgave:
"Uiteindelijk blijkt dat de kans dat ik een witte en een rode knikker trek, 1/3 is". Of 35 keren "een witte en een rode knikker tesamen".
En wat dan met de (105 -35 =) 70 andere gevallen,
waar er "r en b" en "w en b" en "r en r" en "w en w" kunnen zijn?
* * * * *
Meester Denook zal wel beslissen.
Dit was het denkwerk.
Men neemt tegerlijkertijd 2 knikkers, en vandaar de C(2,15).
Bij het nemen van 2 knikkers is 1/3 onregelmatig, komen statistisch meer voor dan de anderen. Dat zijn 35 beurten, 35 witte en 35 rode knikkers.
Dit impliceert ook dat de rest statistisch wel regelmatig is. Indien niet, was er een additionele voorwaarde in de opgave. Vandaar dat de 70 keren 2 knikkers "(r + r), ( w + w), (r + b), (w + b) en (b + b)" voor elk element evenveel keren voorkomen, namelijk 70/10 of 7. En vandaar komt
r 3.7 = 21, w 3.7 = 21 en b 4.7 = 28.
De sommatie van de 70 en 35 levert "56 - 56 -28" of "2 -2 -1",
waaruit volgt dat er 3 blauwe zijn.
* * * * *
Dit begrijp ik niet:
"Als r en w het aantal rode en witte knikkers zijn moet dus r*w=35".
Opgave:
"Uiteindelijk blijkt dat de kans dat ik een witte en een rode knikker trek, 1/3 is". Of 35 keren "een witte en een rode knikker tesamen".
En wat dan met de (105 -35 =) 70 andere gevallen,
waar er "r en b" en "w en b" en "r en r" en "w en w" kunnen zijn?
* * * * *
Meester Denook zal wel beslissen.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
goede namiddag iedereen,
heb nu meer tijd dan vanavond; vandaar ...
De laatste vraag - over de knikkers - met een knikkerspel ook
tussen pastoor en lotte, geeft me de kans om er even over uit te
weiden; kansrekening is altijd een stokpaardje van mij geweest.
Probleem: 15 knikkers in totaal, met w(itte), r(ode) en b(lauwe).
Wanneer we, steeds maar opnieuw, twee knikkers uit de doos nemen
en terug leggen, bleek uiteindelijk dat we een kans van 1/3 hebben
voor een knikkerpaar rood-wit.
Dat gegeven is voldoende om uit te rekenen hoeveel blauwe knikkers
er in de doos zitten.
Oplossingen:
lotte: ok en perfect (kort gehouden) geredeneerd,
pastoor: getal juist - ...
Voor iedereen nu:
Op hoeveel manieren kunnen we 15 knikkers twee per twee nemen?
C(15,2) = 15! / (13!.2!) = 15.14/2 = 105 (ok pastoor en lotte)
Als de kans op (w,r) = 1/3 is van het totaal aantal mogelijkheden,
dan zijn er 105 / 3 = 35 mogelijke w-r keuzes.
En nu gebruiken we de productformule.
Denk aan het klassiek voorbeeld uit de humaniora.
Als we van stad A naar stad B vier verschillende wegen hebben,
en van stad B naar stad C, drie verschillende wegen,
dan kunnen we van A naar C gaan, via B op 4.3 manieren.
Hier: als er r rode knikkers zijn en w witte knikkers, dan kunnen
we op r.w manieren een rode met een witte knikker nemen (ok - lotte).
Maar r.w moet 35 zijn.
We hebben dus 5.7 = 35 of 1.35 = 35
Dat laatste kan niet; er zijn maar 15 knikkers in totaal.
Besluit: r en w zijn 5 en 7, of omgekeerd; dus samen 12.
Er blijven dus 3 knikkers over die blauw zijn.
Nemen we aan: 5 rode, 7 witte, 3 blauwe,
dan 5.7 = 35 r-w,
dan 5.3 = 15 r-b,
dan 7.3 = 21 w.b
dan C(5,2) = 5.4/2 = 10 r-r,
dan C(7,2) = 7.6/2 = 21 w-w,
dan C(3,2) = 3.2/2 = 3 b-b.
Alles samen is dit natuurlijk 105,
want we hebben ALLE mogelijkheden genomen en opgeteld.
Mooi toch, om te eindigen.
Rest me enkel nog om de spelers, en de lezers-niet-spelers,
een deugddoend, lang verlof te wensen,
denook
heb nu meer tijd dan vanavond; vandaar ...
De laatste vraag - over de knikkers - met een knikkerspel ook
tussen pastoor en lotte, geeft me de kans om er even over uit te
weiden; kansrekening is altijd een stokpaardje van mij geweest.
Probleem: 15 knikkers in totaal, met w(itte), r(ode) en b(lauwe).
Wanneer we, steeds maar opnieuw, twee knikkers uit de doos nemen
en terug leggen, bleek uiteindelijk dat we een kans van 1/3 hebben
voor een knikkerpaar rood-wit.
Dat gegeven is voldoende om uit te rekenen hoeveel blauwe knikkers
er in de doos zitten.
Oplossingen:
lotte: ok en perfect (kort gehouden) geredeneerd,
pastoor: getal juist - ...
Voor iedereen nu:
Op hoeveel manieren kunnen we 15 knikkers twee per twee nemen?
C(15,2) = 15! / (13!.2!) = 15.14/2 = 105 (ok pastoor en lotte)
Als de kans op (w,r) = 1/3 is van het totaal aantal mogelijkheden,
dan zijn er 105 / 3 = 35 mogelijke w-r keuzes.
En nu gebruiken we de productformule.
Denk aan het klassiek voorbeeld uit de humaniora.
Als we van stad A naar stad B vier verschillende wegen hebben,
en van stad B naar stad C, drie verschillende wegen,
dan kunnen we van A naar C gaan, via B op 4.3 manieren.
Hier: als er r rode knikkers zijn en w witte knikkers, dan kunnen
we op r.w manieren een rode met een witte knikker nemen (ok - lotte).
Maar r.w moet 35 zijn.
We hebben dus 5.7 = 35 of 1.35 = 35
Dat laatste kan niet; er zijn maar 15 knikkers in totaal.
Besluit: r en w zijn 5 en 7, of omgekeerd; dus samen 12.
Er blijven dus 3 knikkers over die blauw zijn.
Nemen we aan: 5 rode, 7 witte, 3 blauwe,
dan 5.7 = 35 r-w,
dan 5.3 = 15 r-b,
dan 7.3 = 21 w.b
dan C(5,2) = 5.4/2 = 10 r-r,
dan C(7,2) = 7.6/2 = 21 w-w,
dan C(3,2) = 3.2/2 = 3 b-b.
Alles samen is dit natuurlijk 105,
want we hebben ALLE mogelijkheden genomen en opgeteld.
Mooi toch, om te eindigen.
Rest me enkel nog om de spelers, en de lezers-niet-spelers,
een deugddoend, lang verlof te wensen,
denook
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Meester Denook,
Prettig verlof.
Pastoor.
Twee wiskunde boeken ontmoeten mekaar. Zegt het tweede boek tegen het eerste "gelieve mij niet storen, ik heb mijn eigen problemen en probleempjes". (Descartes).
Prettig verlof.
Pastoor.
Twee wiskunde boeken ontmoeten mekaar. Zegt het tweede boek tegen het eerste "gelieve mij niet storen, ik heb mijn eigen problemen en probleempjes". (Descartes).
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
sloeberkebebo - Lid geworden op: 04 dec 2007, 13:51
- Locatie: Roeselare
Een goed verlof aan de meester en alle klasgenoten .
't Is te hopen dat wij allemaal in het volgend schooljaar mogen starten ?
Vele groetjes
Sloeberkebebo
't Is te hopen dat wij allemaal in het volgend schooljaar mogen starten ?
Vele groetjes
Sloeberkebebo
Meten is weten - Carpe diem
