Wiskundige problemen en probleempjes 2
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Vraag 9) Jantje schrijft op het bord: 1/2 + 1/3 = 2/5. Dat is natuurlijk fout. Als extra - werk moet hij twee getallen x en y zoeken waarvoor wel geldt: 1/x + 1/y = 2/(x+y) (1) Jantje zoekt en zoekt, doch vindt geen x- en y- waarden die voldoen aan (1). Toon algemeen aan dat er inderdaad geen x en y voldoen aan (1).
1/X + 1/Y = 2/(X + Y)
(X + Y)/X.Y = 2/(X + Y)
(X + Y)² = 2.X.Y
X² + 2.X.Y + Y² = 2.X.Y
X² + Y² = 0
X² = - Y²
X kan negatief of positief zijn, het linkse deel van de vergelijking is altijd positief.
Y kan negatief of positief zijn, het rechtse deel van de vergelijking is altijd negatief.
Positief = negatief. Dat kan niet. Geen x en y voldoen aan de vergelijking.
1/X + 1/Y = 2/(X + Y)
(X + Y)/X.Y = 2/(X + Y)
(X + Y)² = 2.X.Y
X² + 2.X.Y + Y² = 2.X.Y
X² + Y² = 0
X² = - Y²
X kan negatief of positief zijn, het linkse deel van de vergelijking is altijd positief.
Y kan negatief of positief zijn, het rechtse deel van de vergelijking is altijd negatief.
Positief = negatief. Dat kan niet. Geen x en y voldoen aan de vergelijking.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Goede avond Meester Denook.
Vraag 2) Boer Karel heeft 5000 eieren. Sommige hebben één dooier, andere twee en nog ander geen. Boer Karel telt de dooiers, doch na een tijdje is hij de tel kwijt. Op het einde weet hij wel nog dat de meeste eieren één dooier hadden en de helft van de rest twee dooiers.
Hoeveel dooiers waren er dan in het totaal?
Logica: 5000 eieren. Een deel heeft 1 dooier. De helft van de rest heeft 2 dooiers en telt voor twee; er zijn nu dus al 5000 dooiers. De andere helft van de rest heeft geen dooiers, en telt niet mee. Antwoord 5000 dooiers.
Wiskundige vergelijking: aantal eieren met 1 dooier is x.
Dooiers = x (1 dooier) + ((5000-x)/2)2 (2 dooiers) + ((5000-x)/2)0 (0 dooiers)
Dooiers = x + (5000 –x) = 5000.
Antwoord 5000 dooiers.
Aantal dooiers is 5000.
Vraag 2) Boer Karel heeft 5000 eieren. Sommige hebben één dooier, andere twee en nog ander geen. Boer Karel telt de dooiers, doch na een tijdje is hij de tel kwijt. Op het einde weet hij wel nog dat de meeste eieren één dooier hadden en de helft van de rest twee dooiers.
Hoeveel dooiers waren er dan in het totaal?
Logica: 5000 eieren. Een deel heeft 1 dooier. De helft van de rest heeft 2 dooiers en telt voor twee; er zijn nu dus al 5000 dooiers. De andere helft van de rest heeft geen dooiers, en telt niet mee. Antwoord 5000 dooiers.
Wiskundige vergelijking: aantal eieren met 1 dooier is x.
Dooiers = x (1 dooier) + ((5000-x)/2)2 (2 dooiers) + ((5000-x)/2)0 (0 dooiers)
Dooiers = x + (5000 –x) = 5000.
Antwoord 5000 dooiers.
Aantal dooiers is 5000.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
lotte - Lid geworden op: 26 apr 2005, 13:47
- Locatie: Tielt
Beste denook
een laat antwoord...zie "ons dagboek"
8 ) Tijdens de koopjesperiode lees ik aan een kledingszaak:
" Alle rokken: - 20% "
Als een rok 60 cm meet, aan welke lengte wordt hij dan nu verkocht?
hier geen korting op de prijs, wel op de lengte
60*8 = 48cm.
goeie nacht allemaal
lotte.
een laat antwoord...zie "ons dagboek"
8 ) Tijdens de koopjesperiode lees ik aan een kledingszaak:
" Alle rokken: - 20% "
Als een rok 60 cm meet, aan welke lengte wordt hij dan nu verkocht?
hier geen korting op de prijs, wel op de lengte
60*8 = 48cm.
goeie nacht allemaal
lotte.
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
goede avond iedereen,
vervolg evaluatie:
vraag 7) lotte - ok
wel 2x.y = 32 lezen als: 2-tot de machtx.y = 32
vraag 9) pastoor - ok (+ bevestiging oomski)
vraag 2) pastoor - ok
tot hier de laatste (-magere-) oogst;
blijven over: 3 - 6 - 8
tot morgen,
denook
ps. waar zit sloeberkebebo?
toch niet boos omdat er geen tekeningen bijwaren ...
nu beloofd: volgende keer minstens twee tekeningen.
vervolg evaluatie:
vraag 7) lotte - ok
wel 2x.y = 32 lezen als: 2-tot de machtx.y = 32
vraag 9) pastoor - ok (+ bevestiging oomski)
vraag 2) pastoor - ok
tot hier de laatste (-magere-) oogst;
blijven over: 3 - 6 - 8
tot morgen,
denook
ps. waar zit sloeberkebebo?
toch niet boos omdat er geen tekeningen bijwaren ...
nu beloofd: volgende keer minstens twee tekeningen.
-
sloeberkebebo - Lid geworden op: 04 dec 2007, 13:51
- Locatie: Roeselare
Dag meester en klasgenoten
6) Als n = 2009, wat is dan het laatste cijfer van n³ - n² - n ?
n = 2009
n³ = 8.108.486.729
n² = 4.036.081
n³ - n² - n = 8.104.448.639 ====>> laatste cijfer 9
Groetjes
Sloeber
PS : Meester , Sloeberkebebo is nooit boos hoor !
6) Als n = 2009, wat is dan het laatste cijfer van n³ - n² - n ?
n = 2009
n³ = 8.108.486.729
n² = 4.036.081
n³ - n² - n = 8.104.448.639 ====>> laatste cijfer 9
Groetjes
Sloeber
PS : Meester , Sloeberkebebo is nooit boos hoor !
Meten is weten - Carpe diem
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
goede avond iedereen,
en vooral ...
goede avond beste leerlingen,
het is weer eens geklaard -
alle problemen zijn opgelost.
Bleven over:
8 ) lotte - OK
ja oomski, hier was een poging van mezelf om een beetje grappig te zijn.
Natuurlijk gaat de " - 20%" over een prijs.
Maar ik gaf geen startprijs, wel een startlengte ...
dus mocht het worden opgelost zoals lotte deed.
6) sloeberkebebo - OK
je moest het niet uitrekenen om het antwoord te kennen.
Elke oneven macht van 2009 eindigt op 9,
elke even macht van 2009 eindigt op 1,
vandaar ...
3) lotte - OK
inderdaad: 5 + 5 + 5 = 15;
vandaar A = 5 en B = 1
nog een fijn weekend iedereen
en tot dinsdag voor een eerste les,
denook
en vooral ...
goede avond beste leerlingen,
het is weer eens geklaard -
alle problemen zijn opgelost.
Bleven over:
8 ) lotte - OK
ja oomski, hier was een poging van mezelf om een beetje grappig te zijn.
Natuurlijk gaat de " - 20%" over een prijs.
Maar ik gaf geen startprijs, wel een startlengte ...
dus mocht het worden opgelost zoals lotte deed.
6) sloeberkebebo - OK
je moest het niet uitrekenen om het antwoord te kennen.
Elke oneven macht van 2009 eindigt op 9,
elke even macht van 2009 eindigt op 1,
vandaar ...
3) lotte - OK
inderdaad: 5 + 5 + 5 = 15;
vandaar A = 5 en B = 1
nog een fijn weekend iedereen
en tot dinsdag voor een eerste les,
denook
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
GETALLEN, GETALLEN en nog GETALLEN ... LES 1
Er zijn vele soorten getallen; dat wisten we al.
We gaan ze hier op een rijtje zetten, in volgorde van invoeren.
Bedoeling is ook, als we bij 'problemen en probleempjes' een getalsoort
vernoemen, er niet altijd moet uitgelegd worden waar het over gaat.
1) de NATUURLIJKE GETALLEN: N
Die kennen we zeker, N: 0, 1, 2, 3, 4, ... enz. oneindig doorlopend.
Ze werden ingevoerd om het aantal elementen, het aantal 'stuks', in een
verzameling te bepalen.
We voeren er ook bewerkingen mee uit.
de OPTELLING, vb 5+3 = 8; steeds mogelijk in N.
de VERMENIGVULDIGING, vb 5.3 = 15; ook steeds mogelijk in N,
maar ...
de AFTREKKING, vb 8-3 = 5, ok, doch 13-25 = ?? onmogelijk in N
Daarom voeren we nieuwe getallen in.
2) de GEHELE GETALLEN: Z
We behouden de natuurlijke getallen en voegen er nieuwe bij.
Z: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... oneindig doorlopend in twee richtingen.
We voeren nieuwe bewerkingen in.
de AFTREKKING, vb 8-5 = 3 en 13-25 = -12, steeds mogelijk in Z.
de DELING, vb 8:2 = 4, -35:7 = -5, ok, doch 17:3 = ?? gaat niet in Z.
Daarom voeren we nieuwe getallen in.
3) de RATIONALE GETALLEN Q
We behouden de gehele getallen en voegen er nieuwe bij,
namelijk alle breuken met teller en noemer een geheel getal.
voorbeelden: a = 15:8, b = 17:3 en d = 288:55
Iedere breuk kunnen we ook schrijven als een getal met een komma;
dat zijn de DECIMALE VORMEN van de RATIONALE GETALLEN.
Onze voorbeelden (-neem een eenvoudig zakrekenmachientje-)
a = 15:8 = 1,875
b = 17:3 = 5,66666666...
c = 288:55 = 5,236363636...
a is een BEGRENSDE DECIMALE VORM
b en c zijn REPETERENDE DECIMALE VORMEN (lopen oneindig door)
Bij repeterende vormen is er een 'repeterend deel' dat oneindig
terugkomt; dat noemen we de PERIODE
Bij b is de periode 6,
Bij c is de periode 36.
Zie je nog een verschil tussen de vormen van b en c?
Bij b begint de periode onmiddellijk na de komma;
we spreken van een ZUIVER REPETERENDE vorm.
Bij c hebben we na de komma eerst een deel dat niet repeteert;
we spreken van een GEMENGD REPETERENDE vorm.
Volgende les, na N, Z en Q nog verdere uitbreidingen van de getallen.
En nu, een paar toepassingen voor thuis.
Je kan altijd van breuk naar decimale vorm;
tik in 25:8 en je leest 3,125.
Omgekeerd nu kun je met rekenmachientjes die 'veel' kunnen ook van
decimale vorm naar breukvorm (-ik heb er geen-).
Zo typ je 3,125 en dan knop ??? en je leest 25/8.
Hoe doen wij het nu?
a = 1,875 = 1875/1000 = 375/200 = 75/40 = 15/8
b = 5,666666...
dan 10b = 56,6666666... (1)
en b = 5,666666666 (2)
dus (1) - (2) geeft 10b - b = 56,66666... - 5, 66666...
of 9b = 51 en b = 51/9
wat deden we?
getal vermenigvuldigen met 10, 100, ... tot we ná de periode zitten,
dan de oorspronkelijke vorm aftrekken en de komma's zijn weg.
c = 5,236363636 ... = ?
eerst maal 10, 100, 1000 ... tot ná eerste periode,
hier 1000c = 5236,363636... (1)
dan getal maal 10, 100, 1000 ... tot vóór eerste periode,
hier 10c = 52,363636 ... (2),
dan (1) - (2),
1000c - 10c = 5236,363636... - 52,363636....
990c = 5184 (weg periode!!!)
c = 5184/990 = ... vereenvoudigen ... = 288/55
voor thuis:
1) schrijf decimaal,
a = 57/8, b= 23/7, c= 53:18
2) schrijf in breukvorm,
a = 45,25 b = 13,12121212... c= 4,1523232323...
tot volgende dinsdag, ten laatste,
denook
Er zijn vele soorten getallen; dat wisten we al.
We gaan ze hier op een rijtje zetten, in volgorde van invoeren.
Bedoeling is ook, als we bij 'problemen en probleempjes' een getalsoort
vernoemen, er niet altijd moet uitgelegd worden waar het over gaat.
1) de NATUURLIJKE GETALLEN: N
Die kennen we zeker, N: 0, 1, 2, 3, 4, ... enz. oneindig doorlopend.
Ze werden ingevoerd om het aantal elementen, het aantal 'stuks', in een
verzameling te bepalen.
We voeren er ook bewerkingen mee uit.
de OPTELLING, vb 5+3 = 8; steeds mogelijk in N.
de VERMENIGVULDIGING, vb 5.3 = 15; ook steeds mogelijk in N,
maar ...
de AFTREKKING, vb 8-3 = 5, ok, doch 13-25 = ?? onmogelijk in N
Daarom voeren we nieuwe getallen in.
2) de GEHELE GETALLEN: Z
We behouden de natuurlijke getallen en voegen er nieuwe bij.
Z: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... oneindig doorlopend in twee richtingen.
We voeren nieuwe bewerkingen in.
de AFTREKKING, vb 8-5 = 3 en 13-25 = -12, steeds mogelijk in Z.
de DELING, vb 8:2 = 4, -35:7 = -5, ok, doch 17:3 = ?? gaat niet in Z.
Daarom voeren we nieuwe getallen in.
3) de RATIONALE GETALLEN Q
We behouden de gehele getallen en voegen er nieuwe bij,
namelijk alle breuken met teller en noemer een geheel getal.
voorbeelden: a = 15:8, b = 17:3 en d = 288:55
Iedere breuk kunnen we ook schrijven als een getal met een komma;
dat zijn de DECIMALE VORMEN van de RATIONALE GETALLEN.
Onze voorbeelden (-neem een eenvoudig zakrekenmachientje-)
a = 15:8 = 1,875
b = 17:3 = 5,66666666...
c = 288:55 = 5,236363636...
a is een BEGRENSDE DECIMALE VORM
b en c zijn REPETERENDE DECIMALE VORMEN (lopen oneindig door)
Bij repeterende vormen is er een 'repeterend deel' dat oneindig
terugkomt; dat noemen we de PERIODE
Bij b is de periode 6,
Bij c is de periode 36.
Zie je nog een verschil tussen de vormen van b en c?
Bij b begint de periode onmiddellijk na de komma;
we spreken van een ZUIVER REPETERENDE vorm.
Bij c hebben we na de komma eerst een deel dat niet repeteert;
we spreken van een GEMENGD REPETERENDE vorm.
Volgende les, na N, Z en Q nog verdere uitbreidingen van de getallen.
En nu, een paar toepassingen voor thuis.
Je kan altijd van breuk naar decimale vorm;
tik in 25:8 en je leest 3,125.
Omgekeerd nu kun je met rekenmachientjes die 'veel' kunnen ook van
decimale vorm naar breukvorm (-ik heb er geen-).
Zo typ je 3,125 en dan knop ??? en je leest 25/8.
Hoe doen wij het nu?
a = 1,875 = 1875/1000 = 375/200 = 75/40 = 15/8
b = 5,666666...
dan 10b = 56,6666666... (1)
en b = 5,666666666 (2)
dus (1) - (2) geeft 10b - b = 56,66666... - 5, 66666...
of 9b = 51 en b = 51/9
wat deden we?
getal vermenigvuldigen met 10, 100, ... tot we ná de periode zitten,
dan de oorspronkelijke vorm aftrekken en de komma's zijn weg.
c = 5,236363636 ... = ?
eerst maal 10, 100, 1000 ... tot ná eerste periode,
hier 1000c = 5236,363636... (1)
dan getal maal 10, 100, 1000 ... tot vóór eerste periode,
hier 10c = 52,363636 ... (2),
dan (1) - (2),
1000c - 10c = 5236,363636... - 52,363636....
990c = 5184 (weg periode!!!)
c = 5184/990 = ... vereenvoudigen ... = 288/55
voor thuis:
1) schrijf decimaal,
a = 57/8, b= 23/7, c= 53:18
2) schrijf in breukvorm,
a = 45,25 b = 13,12121212... c= 4,1523232323...
tot volgende dinsdag, ten laatste,
denook
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Aan allen die er interesse voor hebben (en met de hulp van Wikipedia).
Wat ik maar voor 1/3 wist, en daarom het hier noteer.
N komt van het woord natuurlijk getal.
Z komt van het Duitse woord zahlen. (raar ?)
Q komt van het woord quotient.
Wat ik maar voor 1/3 wist, en daarom het hier noteer.
N komt van het woord natuurlijk getal.
Z komt van het Duitse woord zahlen. (raar ?)
Q komt van het woord quotient.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
beste leerlingen,
morgen hier weer een mooie mix van problemen en probkleempjes.
Vandaag de oplossingen van de 'thuisoefeningen' over les 1.
1) schrijf decimaal
a = 57/8 = 7,125
b = 23/7 = 3,285714285714285714 ...
c = 53/18 = 2,94444444...
gewoon intikken bij eenvoudig rekentoestel
2) schrijf in breukvorm
a = 45,25 = 4525/100 = 905/20 = 181/4
b = 13,12121212...
100b = 1312,121212... (1)
b = 13,12121212... (2)
(1) - (2) geeft 100b - b = 1312,121212... - 13,121212...
of 99b = 1299,
b = 1299/99 = 433/33
c = 4,15232323...
10000c = 41523,232323... (1)
100c = 415,232323... (2)
(1) - (2) geeft 10000c - 100c = 41523,232323... - 415,232323...
of 9900c = 41108
c = 41108/9900 = 20554/4950 = 10277/2475
tot morgen en ...
nieuwe leerlingen graag welkom,
denook
morgen hier weer een mooie mix van problemen en probkleempjes.
Vandaag de oplossingen van de 'thuisoefeningen' over les 1.
1) schrijf decimaal
a = 57/8 = 7,125
b = 23/7 = 3,285714285714285714 ...
c = 53/18 = 2,94444444...
gewoon intikken bij eenvoudig rekentoestel
2) schrijf in breukvorm
a = 45,25 = 4525/100 = 905/20 = 181/4
b = 13,12121212...
100b = 1312,121212... (1)
b = 13,12121212... (2)
(1) - (2) geeft 100b - b = 1312,121212... - 13,121212...
of 99b = 1299,
b = 1299/99 = 433/33
c = 4,15232323...
10000c = 41523,232323... (1)
100c = 415,232323... (2)
(1) - (2) geeft 10000c - 100c = 41523,232323... - 415,232323...
of 9900c = 41108
c = 41108/9900 = 20554/4950 = 10277/2475
tot morgen en ...
nieuwe leerlingen graag welkom,
denook