Wiskundige problemen en probleempjes 2

[WhiteBullet]

thx Lotte

ps: gisteren in Domino Day wiskunde gezien?
Stelling van Pythagoras kwam langs

[oomski]

WhiteBullet, welkom in ons klasje.

[lotte]

thx Lotte

ps: gisteren in Domino Day wiskunde gezien?
Stelling van Pythagoras kwam langs

Domino Day terloops gezien, die stelling niet, ken die wel van ergens
groetjes
lotte

[sloeberkebebo]

WhiteBullet ,
Welkom in de klas van meester Denook .

Hier dan een tussendoortje voor alle klasgenoten



Groetjes

Sloeberkebebo

[pastoor]

Heb 3 formules.

R² = A² + B²
B = R - 20
(2A)² = R² + R²

De twee eerste zijn juist.
De derde is de koorde van een ingescheven vierhoek, dat lijkt zo maar is niet zeker (het lijnstuk A heeft m.i. geen coördinaten).

Misschien kan iemand het overnemen of betere zaken vinden.

[denook]

beste pastoor,

als je drie vergelijkingen hebt, met drie onbekenden,
zoals bij jou:
R² = A² + B²
B = R - 20
(2A)² = R² + R², dan heb je gewoonlijk één oplossing.
Hier schrijf je B in functie van R (-tweede verg-)
en A in functie van R (-derde verg-).
Je brengt dat in de eerste vergelijking en je krijgt
één vergelijking met één onbekende R.
Je lost op en brengt de R waarde in de tweede en derde vergelijking
en zo vind je ook de A en B- waarden.

Alleen - zoals je zelf al aanvoelde - is de derde vergelijking onjuist.
Waarom? Je geeft A een waarde in functie van R.
Wat gebeurt er als de onderste cirkel een beetje naar boven schuift
en de bovenste cirkel blijft liggen?
Onze vis zal dikker er langer worden, en ...
ook al blijft R dezelfde,
A zal groter en B zal kleiner worden.
Daarom is er geen vast verband tussen R en A alleen.

We zoeken verder?

groetjes
denook

Oh ja, straks ook oplossingen oefeningen getallenuitbreiding

[denook]

goede avond iedereen,

oplossingen oefeningen bewerkingen met complexe getallen.

1) (5 + 5i) + (7 - 6i) + (-3 - 8i)
= 9 - 9i

2) (17 - 5i) - (-12 + 8i)
= 17 - 5i + 12 - 8i
= 29 - 13i

3) (3 + 11i) . ( -4 + 7i)
= -12 + 21i - 44i + 77i²
= -12 - 23i - 77
= -89 - 23i

4) (8 + 3i) . (8 - 3i)
= 64 - 24i + 24i - 9i²
= 64 - (-9)
= 64 + 9 = 73

merkwaardig, de laatste oefening:
we vermenigvuldigen twee complexe getallen en het product is reëel.
Daarover en nog meer: morgen in volgende les over getallen.

groetjes,
denook

[pastoor]

Meester Denook,

Ik had maar 20 minuutjes om de formules te vinden. (kursus).
A² + B² = R2
B = R -20

De andere (2A)² = 2R² is bruikbaar als A = B waardoor er een rechhoekige driehoek ontstaat met 2 hoeken van 45°. Maar dit is niet bewijsbaar.

Voorlopig kan ik met de getallen 100 en 40 niets doen.
Maar geef het nog niet op.
Snijpunten van de twe cirkels, neen, onvoldoende gegevens.
Misschien de sinus en cosinus.

dodo

[sloeberkebebo]

Dag Meester en Pastoor

Visje ! Het zwemt nog altijd voort in zijn rechthoekje .....

A²+B²=R²
B=R-20

C===>B-20
D===>100-A
C²+D²=R²
R=C+40
R=B+20
enz enz enz............

Zoeken maar......veel reken plezier

Groetjes

Sloeber

[pastoor]

Samen:

A² + B² = R²
C² + D² = R²
B = R -20
C = R - 40
C = B - 20
D = 100 -A

6 vergelijkingen met 5 onbekenden (teveel van het goede).
Zal voor vanavond laat worden. (kurus).
Wat is de bedoeling van die vis erboven?

[denook]

beste sloeberkebebo,

de antwoorden:
A = 44,2221,
B = 38,8897 en
R = 58,8898, indien geen rekenfout.

groetjes,
denook

[sloeberkebebo]

Inderdaad Meester ,

De vis is correct gevangen .

A = 44,2221,
B = 38,8897
R = 58,8897

Groetjes

Sloeber

[denook]

beste sloeberkebebo, ik bespaar jou en de anderen alle berekeningen.
Het probleem is terug te brengen tot een stelsel van 5 vergelijkingen met
vijf onbekenden. Altijd maar wordt Pythagoras gebruikt; maar echt ik
heb de moed niet om hier alle bewerkingen neer te schrijven. Vooral ook
omdat de theorie voor stelsels met meerdere vergelijkingen later nog
aan bod komt in onze lessen - voor wie nog volgt tenminste.

tot straks, denook

[denook]

nog meer getallen - les 4.

We kenden reeds van vroeger de reële getallen, nml alle getallen die
we normaal kunnen tegenkomen: pos. / negatief / geheel / rationaal /
irrationaal.
Dan kwamen de IMAGINAIRE getallen ( = alle reële getallen, vermenig-
vuldigd met 'i' en i² = -1 of i = vierkantswortel(-1)).
Tenslotte combineren we; vb 3 + 5i en zo krijgen we de COMPLEXE
getallen (complex = stuk reëel + stuk imaginair)

De bewerkingen plus, min, maal, met complexe getallen hebben we ook
onder de knie; alleen onthouden dat we i² vervangen door -1.

In de laatste oefening van vorige les kregen we (8+3i).(8-3i) en dit
product leverde een reëel getal op: 73.

Dergelijke getallen, algemeen a + bi en a - bi, noemen we TOEGEVOEGD
COMPLEXE GETALLEN ( = zelfde reëel deel, tegengesteld imag. deel).

Als we TOEGEVOEGD complexe getallen OPTELLEN vinden we iets REEEL
(8 + 5i) + (8 - 5i) = 16
Als we TOEGEVOEGD complexe getallen AFTREKKEN vinden we een
IMAGINAIR getal, (8 + 5i) - (8 - 5i) = 10i
Als we TOEGEVOEGD complexe getallen VERMENIGVULDIGEN vinden we
een REEEL getal, (8 + 5i).(8 - 5i) = 89

Blijft over: hoe delen we complexe getallen?
Voorbeeld: (8 + 3i) / (5 - 2i) = ????
Regel.
We vermenigvuldigen teller en noemer van de breuk met eenzelfde getal,
namelijk het TOEGEVOEGD COMPLEX GETAL VAN DE NOEMER.
Ons voorbeeld:
(8 + 3i) / (5 - 2i) = (8 + 3i).(5 + 2i) / (5 - 2i).(5 + 2i)
= (40 + 16i + 15i + 6i²) / (25 + 10i - 10i - 4i²)
= (40 + 31i - 6) / (25 + 4)
= (34 + 31i) / 29
= 34/29 + 31i/29

Deze regel geldt altijd; nog een voorbeeld:
(5 - 3i) / (1 + i) = (5 - 3i).(1 - i) / (1 + i).(1 - i)
= (2 - 8i) / (1 + 1) = (2 - 8i) / 2 = 1 - 4i (reken na)

Vroeger (= alleen reële getallen) hadden we:
x² = 1 geeft x = 1 of x = -1,
x³ = 8 geeft x = 2,
x-tot de macht5 = 1 geeft x = 1.

Met complexe getallen erbij klinkt het zo:
IEDER GETAL heeft
- TWEE verschillende VIERKANTSWORTELS,
- DRIE verschillende DERDEMACHTS WORTELS,
- VIER verschillende VIERDEMACHTSWORTELS,
......
- N verschillende N-DEMACHTSWORTELS,

een voorbeeld:
als x³ = 8, dan kan x drie verschillende waarden aannemen, nml
x = 2 (wisten we), x = -1 + wortel3.i en x = -1 - wortel3 .i (reken maar)

Zo zijn er 7 x-waarden, waarvoor geldt: x-tot de macht7 = 10,
zijn er 23 x-waarden, waarvoor geldt: x-tot de macht23 = 587

Hoe we die x-waarden vinden?
Uitleg misschien later, als we enkele lessen 'goniometrie' hebben gezien.

Toch nog een voorbeeld.
Reken eens traag uit: (wortel2 /2 + i.wortel2/2)-tot de macht4
= (wortel2/2 +i.wortel2/2)² . (wortel2/2 + i.wortel2/2)² = ...
als je traag en juist rekent vind je: -1,
of, x = wortel2/2 + i.wortel2/2 is één van de vier verschillende
vierdemachtswortels uit -1.

enkele oefeningen voor thuis (of privé doorsturen)

1) (3 - 7i).(3 + 7i) = ...
2) (5 - 2i) / (6 - 3i) = ...
3) (1/2 + i.wortel3/2)-tot de macht6 = ...
eerst kwadraat berekenen,
dan resultaat maal zichzelf maal zich zelf.

verbeteringen op maandag 30 november,
volgende problemen en probleempjes op dinsdag 24 november,

goede avond,
denook

[pastoor]

Cirkel-vis berekening.

A² + B² = R² (1)
C² + D² = R² (2)
B = R – 20 (3)
C = R – 40 (4)
D = 100 – A (5)

A = 44,22205102
R = 58,889745
B = 38,889745

* * * * * *

Berekening van: A = 44,22205102.

Met (3) in (1): A² + B² = R² (1) en B = R – 20 (3).
A² + (R – 20)² = R²
A² + R² - 40 R + 400 = R²
A² - 40 R + 400 = 0 (6)

Met (5) en (4) in (2):
C² + D² = R² (2) en C = R – 40 (4) en D = 100 – A (5).
(R - 40)² + (100 – A)² = R².
R² - 80R + 1600 + 10000 – 200A + A² = R²
A² -200A – 80R + 11600 = 0 (7)

Som: (-7)+(2.6)
- A² + 200A + 80R – 11600 = 0
2A² - 80R + 800 = 0
----------------------------------------
A² + 200A – 10800 = 0
A² + 200A + 10000 – 20800 = 0
(A + 100)² = 20800 = 2².2².2².5².13
A + 100 = 40.√13
A = 40.√13 – 100 = A = 44,22205102

Berekening van: R = 58,889745.

Met (3) in (1): A² + B² = R² (1) en B = R – 20 (3)
(40.√13 – 100)² + (R – 20)² = R²
(40.√13 – 100)² + R² – 40R + 400 = R²
(40.√13 – 100)² – 40R + 400 = 0
R = ((40.√13 – 100)² + 400) / 40
R = (1600.13 – 2.100.40.√13 + 10000 + 400) / 40
R = (31200 – 8000.√13) / 40 = 58,889745.

Berekening van: B = 38,889745.
B = R – 20 = 39,889745.