Wiskundige problemen en probleempjes 2
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Meester Denook,
Vraag 8 ) M is middelpunt van een cirkel met straal 6, N is middelpunt van een cirkel met straal 4, de cirkels raken elkaar uitwendig in A, door A gaat een rechte die MN snijdt onder een hoek van 30°, deze rechte snijdt cirkel M in B en cirkel N in C.
Bereken de verhouding CA/CB.
MN snijdt A onder een hoek van 30° in cirkel met middelpunt N en straal 4.
Of hoek CAN = 30°.
Omwille van die 30°, zijn A en C twee punten van een ingeschreven zeshoek.
(of ook van een ingeschreven driehoek met zijde AN).
Het volstaat punt D (tussen A en C) te bepalen op afstand straal = 4.
Dan is hoek DAC = 30°.
(En men kan de andere punten van de zeshoek bepalen, maar is niet nodig).
Hoek DAN = hoek DAC + hoek CAN = 60°.
Inherent is dan driehoek ANC ingeschreven.
Gelijkbenig (straal van de cirkel).
Hoek CAN is 30°. Hoek NCA is 30°.
Hoek ANC = 180° - 30° -30° = 120°.
Goniometrie, willekeurige driehoek.
In een driehoek is elke zijde gelijk aan de diameter van de omschreven cirkel .... en zo voort.
AC = 2.straal.(sin 120°) = 2.4.(sin 120) = 8.(sin 120°).
Indien die hoek CAN niet 30° was, dan telt het vorige niet
Vraag 8 ) M is middelpunt van een cirkel met straal 6, N is middelpunt van een cirkel met straal 4, de cirkels raken elkaar uitwendig in A, door A gaat een rechte die MN snijdt onder een hoek van 30°, deze rechte snijdt cirkel M in B en cirkel N in C.
Bereken de verhouding CA/CB.
MN snijdt A onder een hoek van 30° in cirkel met middelpunt N en straal 4.
Of hoek CAN = 30°.
Omwille van die 30°, zijn A en C twee punten van een ingeschreven zeshoek.
(of ook van een ingeschreven driehoek met zijde AN).
Het volstaat punt D (tussen A en C) te bepalen op afstand straal = 4.
Dan is hoek DAC = 30°.
(En men kan de andere punten van de zeshoek bepalen, maar is niet nodig).
Hoek DAN = hoek DAC + hoek CAN = 60°.
Inherent is dan driehoek ANC ingeschreven.
Gelijkbenig (straal van de cirkel).
Hoek CAN is 30°. Hoek NCA is 30°.
Hoek ANC = 180° - 30° -30° = 120°.
Goniometrie, willekeurige driehoek.
In een driehoek is elke zijde gelijk aan de diameter van de omschreven cirkel .... en zo voort.
AC = 2.straal.(sin 120°) = 2.4.(sin 120) = 8.(sin 120°).
Indien die hoek CAN niet 30° was, dan telt het vorige niet
Laatst gewijzigd door pastoor op 01 apr 2011, 06:16, 1 keer totaal gewijzigd.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
troontje - Lid geworden op: 14 dec 2004, 10:03
goede avond iedereen,
vraag5)
2-4-6-8 enz...36-38-40-42-44-46-84-50---tot100=pare huisnummers
1-3-5-7 enz...35-37-39-41-43-45-47-49---tot99= onpare huisnummers
Hans zijn huisnr.=43(ongeveer in het midden)
Jan zijn huisnr.=47(twee huizen verder)
Piet aan de overkant met huisnr=2
vraag 5 had ik deze middag opgelost ,maar kon niet vroeger posten
--------------------------------------------------------------------------------
vraag2
3-7-2
8---4
1-5-6
de som van de hoekgetallen is ook 12
troontje
vraag5)
2-4-6-8 enz...36-38-40-42-44-46-84-50---tot100=pare huisnummers
1-3-5-7 enz...35-37-39-41-43-45-47-49---tot99= onpare huisnummers
Hans zijn huisnr.=43(ongeveer in het midden)
Jan zijn huisnr.=47(twee huizen verder)
Piet aan de overkant met huisnr=2
vraag 5 had ik deze middag opgelost ,maar kon niet vroeger posten
--------------------------------------------------------------------------------
vraag2
3-7-2
8---4
1-5-6
de som van de hoekgetallen is ook 12
troontje
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
goede avond iedereen,
vervolg ...
vraag 8 ) ok pastoor en sloeberkebebo -
heb jullie uitleg volledig begrepen.
Is de hoek (30°) niet gegeven; we kennen hem zelfs niet,
dan steunen we op
driehoek CAN is gelijkvormig met driehoek BAM
(gelijkbenige driehoeken met hoeken twee aan twee gelijk)
en dus CA/AB = NA/MA = 4/6
daaruit: CA/CB = CA/(CA + AB) = NA/(NA + AM) = 4/(4 + 6) = 0,4
vraag 6) lotte - ok
dit zijn ze allemaal,
vraag 4) sloeberkebeo - ok
tweemaal de driehoeksongelijkheid ...
vraag 5) pastoor - ok
inderdaad sloeberkebebo, een goede postbode weet dat er geen drie
oneven nummers kunnen zijn, bij huizen langs beide zijden van de straat,
vraag 2) troontje - ok
redenering zonder de cijfers te plaatsen:
de twee rijen en twee kolommen samen: 4 . 12 = 48
(nu zijn de hoekgetallen tweemaal geteld)
verder is 1 + 2 + ... + 8 = 36
48 - 36 = 12 is dus de som van eenmaal de hoekgetallen.
blijven over:
vraag 9 en vraag 10,
en ... een antwoord met een vergelijking (voor troontje) van vraag 3,
groetjes, tot morgen (-of vroeger!)
denook
vervolg ...
vraag 8 ) ok pastoor en sloeberkebebo -
heb jullie uitleg volledig begrepen.
Is de hoek (30°) niet gegeven; we kennen hem zelfs niet,
dan steunen we op
driehoek CAN is gelijkvormig met driehoek BAM
(gelijkbenige driehoeken met hoeken twee aan twee gelijk)
en dus CA/AB = NA/MA = 4/6
daaruit: CA/CB = CA/(CA + AB) = NA/(NA + AM) = 4/(4 + 6) = 0,4
vraag 6) lotte - ok
dit zijn ze allemaal,
vraag 4) sloeberkebeo - ok
tweemaal de driehoeksongelijkheid ...
vraag 5) pastoor - ok
inderdaad sloeberkebebo, een goede postbode weet dat er geen drie
oneven nummers kunnen zijn, bij huizen langs beide zijden van de straat,
vraag 2) troontje - ok
redenering zonder de cijfers te plaatsen:
de twee rijen en twee kolommen samen: 4 . 12 = 48
(nu zijn de hoekgetallen tweemaal geteld)
verder is 1 + 2 + ... + 8 = 36
48 - 36 = 12 is dus de som van eenmaal de hoekgetallen.
blijven over:
vraag 9 en vraag 10,
en ... een antwoord met een vergelijking (voor troontje) van vraag 3,
groetjes, tot morgen (-of vroeger!)
denook
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Troontje vraag 3.
Alle leerlingen van de school kiezen een nieuwe mascotte.
1/3 van de leerlingen kiest Laa-Laa, 1/4 van de leerlingen kiest Po, 1/5 van de leerlingen kiest Dipsy, 1/6 van de leerlingen kiest Tinky Winky, 18 leerlingen stemmen blanco.
Hoeveel leerlingen telt de school als iedereen slechts één stem uitbrengt?
Antwoord: 360 (1/3 =120, 1/4 = 90, 1/5 = 72, 1/6 = 60, 18 blanco.)
Alle leerlingen van de school kiezen een nieuwe mascotte.
1/3 van de leerlingen kiest Laa-Laa, 1/4 van de leerlingen kiest Po, 1/5 van de leerlingen kiest Dipsy, 1/6 van de leerlingen kiest Tinky Winky, 18 leerlingen stemmen blanco.
Hoeveel leerlingen telt de school als iedereen slechts één stem uitbrengt?
Antwoord: 360 (1/3 =120, 1/4 = 90, 1/5 = 72, 1/6 = 60, 18 blanco.)
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Goede avond allemaal.
Vraag 9) Een strook papier verdeel je in 5 gelijke delen. Twee delen bewaar je, één deel gooi je weg en met de andere delen herhaal je dezelfde procedure. Als je zo verder blijft herhalen, welk deel van de oorspronkelijke strook blijft dan uiteindelijk over?
A) 1/2, B) 7/15, C) 3/5, D) 2/3, E) 4/5
Logica oplossing.
Bij elke verwerking is er : 0,4 bewaren, 0,4 te versnijden en 0,2 weggooien.
Het versnijden zal ooit beëindigen en wordt 0.
Het versnijden levert dubbel zoveel te bewaren in vergelijking met het weggooien.
Bewaren en weggooien = 0,4 + 0,2 = 0,6.
Bewaren = (0,4/0,6) = 2/3. Weggooien is 1/3
Antwoord: D) 2/3
Wiskundige oplossing.
Procedure 1 maal uitgevoerd: 0,4 bewaard, 0,4 te verwerken, totaal 0,2 vuilbak.
Procedure 2 maal uitgevoerd: 0,56 bewaard, 0,16 te verwerken, totaal 0,28 vuilbak.
Procedure 10 maal uitgevoerd.
0,6665967616 bewaard,
0,0001048576 te verwerken,
0,3332983808 vuilbak.
Bij elke verwerking wordt 2/5 verdeeld.
Cijfers na 8 verwerkingen:
0,4 * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5)
Dit wordt in kleiner en kleiner en uiteindelijk verwaarloosbaar.
Bij elke verwerking wordt 2/5 bewaard.
Cijfers na 8 verwerkingen:
0,4 *( 1 + 2/5 + 4/25 + 8/125 + 19/625 + 32/3125 + 64/ 15625 + 128/390625)
Bij elke verwerking wordt 1/5 weggegooid.
Cijfers na 8 verwerkingen:
0,2 *( 1 + 2/5 + 4/25 + 8/125 + 19/625 + 32/3125 + 64/ 15625 + 128/390625)
Formule bewaard en weggegooid verschillen met prefix 0,4 en 0,2.
0,4 + 0,2 = 0,6
Bewaard is 0,4/0,6 = 2/3.
Weggegooid is 0,2/06 = 1/3
Antwoord: D) 2/3
Vraag 9) Een strook papier verdeel je in 5 gelijke delen. Twee delen bewaar je, één deel gooi je weg en met de andere delen herhaal je dezelfde procedure. Als je zo verder blijft herhalen, welk deel van de oorspronkelijke strook blijft dan uiteindelijk over?
A) 1/2, B) 7/15, C) 3/5, D) 2/3, E) 4/5
Logica oplossing.
Bij elke verwerking is er : 0,4 bewaren, 0,4 te versnijden en 0,2 weggooien.
Het versnijden zal ooit beëindigen en wordt 0.
Het versnijden levert dubbel zoveel te bewaren in vergelijking met het weggooien.
Bewaren en weggooien = 0,4 + 0,2 = 0,6.
Bewaren = (0,4/0,6) = 2/3. Weggooien is 1/3
Antwoord: D) 2/3
Wiskundige oplossing.
Procedure 1 maal uitgevoerd: 0,4 bewaard, 0,4 te verwerken, totaal 0,2 vuilbak.
Procedure 2 maal uitgevoerd: 0,56 bewaard, 0,16 te verwerken, totaal 0,28 vuilbak.
Procedure 10 maal uitgevoerd.
0,6665967616 bewaard,
0,0001048576 te verwerken,
0,3332983808 vuilbak.
Bij elke verwerking wordt 2/5 verdeeld.
Cijfers na 8 verwerkingen:
0,4 * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5) * (2/5)
Dit wordt in kleiner en kleiner en uiteindelijk verwaarloosbaar.
Bij elke verwerking wordt 2/5 bewaard.
Cijfers na 8 verwerkingen:
0,4 *( 1 + 2/5 + 4/25 + 8/125 + 19/625 + 32/3125 + 64/ 15625 + 128/390625)
Bij elke verwerking wordt 1/5 weggegooid.
Cijfers na 8 verwerkingen:
0,2 *( 1 + 2/5 + 4/25 + 8/125 + 19/625 + 32/3125 + 64/ 15625 + 128/390625)
Formule bewaard en weggegooid verschillen met prefix 0,4 en 0,2.
0,4 + 0,2 = 0,6
Bewaard is 0,4/0,6 = 2/3.
Weggegooid is 0,2/06 = 1/3
Antwoord: D) 2/3
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
nog eens goede avond iedereen,
mag ik nu afronden ...
vraag 10) - lotte - ok
vraag 9) - pastoor - ok
we krijgen inderdaad een som van een meetkundige rij
2/5 + 4/25 + 8/125 + 16/625, ...
met als eerste term t1 = 2/5, en met q = 2/5
dat geeft als limiet van de som:
t1/(1 - q) = 2/5 / (1 - 2/5) = 2/5 / 3/5 = 2/3
en dan vroeg ik of iemand vraag 3) wou oplossen met een vergelijking.
Pastoor heeft dit anders gelezen en herhaalt het antwoord van troontje.
Stel x is aantal leerlingen van de school, dan
x/3 + x/4 + x/5 + x/6 + 18 = x
alles maal 60 geeft
20x + 15x + 12x + 10x + 1080 = 60x
x-en vooraan, getallen achteraan
20x + 15x + 12x + 10x - 60x = -1080
-3x = -1080
x = 360
antwoord: er zijn 360 leerlingen op de school.
volgende wiskunde-dinsdag valt in het Paasverlof,
eerste dinsdag na het Paasverlof is 26 april,
doch dan is denook er niet.
Daarom:
volgende wiskundige problemen en probleempjes:
WOENSDAG 27 APRIL
tot dan,
Zalige Paasdagen ondertussen,
denook
mag ik nu afronden ...
vraag 10) - lotte - ok
vraag 9) - pastoor - ok
we krijgen inderdaad een som van een meetkundige rij
2/5 + 4/25 + 8/125 + 16/625, ...
met als eerste term t1 = 2/5, en met q = 2/5
dat geeft als limiet van de som:
t1/(1 - q) = 2/5 / (1 - 2/5) = 2/5 / 3/5 = 2/3
en dan vroeg ik of iemand vraag 3) wou oplossen met een vergelijking.
Pastoor heeft dit anders gelezen en herhaalt het antwoord van troontje.
Stel x is aantal leerlingen van de school, dan
x/3 + x/4 + x/5 + x/6 + 18 = x
alles maal 60 geeft
20x + 15x + 12x + 10x + 1080 = 60x
x-en vooraan, getallen achteraan
20x + 15x + 12x + 10x - 60x = -1080
-3x = -1080
x = 360
antwoord: er zijn 360 leerlingen op de school.
volgende wiskunde-dinsdag valt in het Paasverlof,
eerste dinsdag na het Paasverlof is 26 april,
doch dan is denook er niet.
Daarom:
volgende wiskundige problemen en probleempjes:
WOENSDAG 27 APRIL
tot dan,
Zalige Paasdagen ondertussen,
denook
-
sloeberkebebo - Lid geworden op: 04 dec 2007, 13:51
- Locatie: Roeselare
Voor de vragen van woensdag 27 April
Meten is weten - Carpe diem
-
denook - Lid geworden op: 20 aug 2006, 13:25
- Locatie: Vlaams-Brabant
woensdag 27 april 2011,
Tien wiskundige problemen en probleempjes,
1) Het quotiënt van een deling is 4 en de rest is 15. Als de som van Deeltal, deler, quotiënt en rest gelijk is aan 124, bereken dan Deeltal en deler.
2) Als n + (n+1) + (n+2) + … (n+9) < 200 en n is een natuurlijk getal, bereken dan de hoogst mogelijke n-waarde.
3) PYTHAGORAS telt negen verschillende letters. Als elke letter een verschillend cijfer voorstelt en PYT + HAG = ORAS, zoek dan de cijfers.
4) O is een punt gelegen buiten de cirkel met middelpunt A. Uit O tekenen we de twee raaklijnen aan de cirkel. Bereken de afstand OA als de straal van de cirkel 2 is en de twee raaklijnen een hoek van 60° vormen. (zie figuur sloeberkebebo)
5) Het aantal punten die drie verschillende boloppervlakken met drie verschillende middelpunten kunnen gemeenschappelijk hebben is nooit gelijk aan
A) 0, B) 1, C) 2, D) 3, E) oneindig.
6) Als sinx + cosx = A, dan is sin³x + cos³x = …
A) A³, B) A.(A² - 3)/4, C) A.(A² + 3)/4, D) A.(3 – A²)/2,
E) A.(A² + 1)/2
7) Vul volgende getal van de rij aan: 12, 42, 48, 168, …
8 )We hebben 8 dobbelstenen gestapeld tot een kubus van 2 x 2 x 2, waarvan we drie zijvlakken zien. (zie figuur sloeberkebebo)
Wat is het maximum aantal ogen dat men kan tellen? En het minimum aantal? (dobbelstenen kunnen natuurlijk anders gedraaid zijn!)
9) Als je de teller van een breuk vermeerdert met 2 en de noemer vermindert met 2, dan wordt de breuk 1. Vermeerder je teller én noemer met 1, dan wordt de breuk 1/2. Breuk is ??
10) 7 mei 2013 schrijf je als volgt: 07052013. (ddmmjjjj)
Wat is (of was) de eerste datum in onze eeuw die, zo geschreven, van achter naar voor en van voor naar achter ‘hetzelfde’ leest (palindroom)?
Zoals altijd, veel succes iedereen,
Dank aan sloeberkebebeo voor de mooie figuren
Tot morgen, denook
Tien wiskundige problemen en probleempjes,
1) Het quotiënt van een deling is 4 en de rest is 15. Als de som van Deeltal, deler, quotiënt en rest gelijk is aan 124, bereken dan Deeltal en deler.
2) Als n + (n+1) + (n+2) + … (n+9) < 200 en n is een natuurlijk getal, bereken dan de hoogst mogelijke n-waarde.
3) PYTHAGORAS telt negen verschillende letters. Als elke letter een verschillend cijfer voorstelt en PYT + HAG = ORAS, zoek dan de cijfers.
4) O is een punt gelegen buiten de cirkel met middelpunt A. Uit O tekenen we de twee raaklijnen aan de cirkel. Bereken de afstand OA als de straal van de cirkel 2 is en de twee raaklijnen een hoek van 60° vormen. (zie figuur sloeberkebebo)
5) Het aantal punten die drie verschillende boloppervlakken met drie verschillende middelpunten kunnen gemeenschappelijk hebben is nooit gelijk aan
A) 0, B) 1, C) 2, D) 3, E) oneindig.
6) Als sinx + cosx = A, dan is sin³x + cos³x = …
A) A³, B) A.(A² - 3)/4, C) A.(A² + 3)/4, D) A.(3 – A²)/2,
E) A.(A² + 1)/2
7) Vul volgende getal van de rij aan: 12, 42, 48, 168, …
8 )We hebben 8 dobbelstenen gestapeld tot een kubus van 2 x 2 x 2, waarvan we drie zijvlakken zien. (zie figuur sloeberkebebo)
Wat is het maximum aantal ogen dat men kan tellen? En het minimum aantal? (dobbelstenen kunnen natuurlijk anders gedraaid zijn!)
9) Als je de teller van een breuk vermeerdert met 2 en de noemer vermindert met 2, dan wordt de breuk 1. Vermeerder je teller én noemer met 1, dan wordt de breuk 1/2. Breuk is ??
10) 7 mei 2013 schrijf je als volgt: 07052013. (ddmmjjjj)
Wat is (of was) de eerste datum in onze eeuw die, zo geschreven, van achter naar voor en van voor naar achter ‘hetzelfde’ leest (palindroom)?
Zoals altijd, veel succes iedereen,
Dank aan sloeberkebebeo voor de mooie figuren
Tot morgen, denook
-
pastoor - Lid geworden op: 19 mar 2005, 21:55
- Locatie: Hoeselt, White House
Goede avond Denook en de anderen.
Opgave 4: Cirkel.
Verbinden:
(A met O)
en (raakpunten van de raaklijnen met het middelpunt O).
Dan zijn er twee congruente rechthoekige driehoeken ABO en AOC.
OB = OC = 2, hoek A is 30° in BAO en hoek A is 30° in CAO.
Sinusregel: sin(30°) = (1 / 2) = 0,5 = OB/OA = OC/OA = (2 / OA).
OA = 2/(0,5) = 4.
Opgave 4: Cirkel.
Verbinden:
(A met O)
en (raakpunten van de raaklijnen met het middelpunt O).
Dan zijn er twee congruente rechthoekige driehoeken ABO en AOC.
OB = OC = 2, hoek A is 30° in BAO en hoek A is 30° in CAO.
Sinusregel: sin(30°) = (1 / 2) = 0,5 = OB/OA = OC/OA = (2 / OA).
OA = 2/(0,5) = 4.
Laatst gewijzigd door pastoor op 27 apr 2011, 20:59, 1 keer totaal gewijzigd.
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
-
sloeberkebebo - Lid geworden op: 04 dec 2007, 13:51
- Locatie: Roeselare
Goedenavond allemaal ,
Vraag 7
12,42,48,168,192,672
Groetjes
Sloeber
Vraag 7
12,42,48,168,192,672
Groetjes
Sloeber
Meten is weten - Carpe diem
-
lotte - Lid geworden op: 26 apr 2005, 13:47
- Locatie: Tielt
hallo beste sloeberkebebo,
ik was ook al bezig met de rij getallen;
eventueel voor morgenavond.
Ik had volgende rij in het hoofd:
12, 42, 48, 168, 1722, ...
vond ze als volgt:
ieder getal omgekeerd schrijven
(= van achter naar voor),
en dan 'maal 2'.
zo wordt 12, 21*2 = 42,
42 wordt 24*2 = 48,
48 wordt 168 en
168 zou 861*2 = 1722.
Misschien is jouw oplossing ook goed;
alleen ... ik voel niet hoe je redeneert ...
groetjes, lotte
ik was ook al bezig met de rij getallen;
eventueel voor morgenavond.
Ik had volgende rij in het hoofd:
12, 42, 48, 168, 1722, ...
vond ze als volgt:
ieder getal omgekeerd schrijven
(= van achter naar voor),
en dan 'maal 2'.
zo wordt 12, 21*2 = 42,
42 wordt 24*2 = 48,
48 wordt 168 en
168 zou 861*2 = 1722.
Misschien is jouw oplossing ook goed;
alleen ... ik voel niet hoe je redeneert ...
groetjes, lotte
