Wiskundig probleem

[Wil.]

Is het dan niet zo dat als je ENKEL kan vermenigvuldigen of delen door een bepaald getal (met name 10) er misschien iets fout zit?

Je kunt ook delen door 2 of 3 of elk getal, maar het leidt slechts tot een ander repeterend getal.

Het niet-eindig getal 0,99999999~9 mag dan wel 1 zijn maar veel kan je er niet mee, toch?

Dat was ook niet de bedoeling van de openingsposting. Ik was verwonderd over de eenvoud van die vergelijking en over het verbluffende eindresultaat.

In deze zaak maakt het niets uit, maar in de wiskunde gebruikt men gelijkaardige berekeningen en formules om dingen te berekenen die in 'de echte wereld' toegepast worden. Het gaat dan over limieten, reeksen en rijen zoals je je wellicht nog herinnert uit het middelbaar.

[E.T.]

Natuurlijk leidt dat tot een ander repenterend getal MAAR niet één

Herinneringen uit het middelbaar? Buiten m´n eerste lief en de eerste keer ... is er niet veel meer blijven hangen

[Wil.]

Natuurlijk leidt dat tot een ander repeterend getal MAAR niet één

Daarom werd in de bewijsvoering die weg (de deling) niet gevolgd. Het volstaat immers om via één bepaalde aanpak het bewijs te leveren.

[E.T.]

Naast de kwestie ... ook een vermenigvuldiging met elk ander cijfer faalt.

En of dat één bepaalde aanpak echt volstaat om een bewijs te leveren?

[Wil.]

Naast de kwestie ... ook een vermenigvuldiging met elk ander cijfer faalt.

Waar wil je nu naartoe? Er zijn tal van mogelijkheden om het verkeerde pad te bewandelen.
Het komt erop aan in de wiskunde om precies díe stappen te zetten die naar het te bewijzen doel leiden.

Als je vroeger een stelling van wiskunde moest bewijzen, dan kon je misschien hier of daar een verkeerde redenering invoegen, waardoor je bewijsvoering vastliep. Je bent niks met het bewandelen van de verkeerde weg.
Hier is een weg gevolgd die onmiskenbaar leidt naar een eindresultaat, nl. 0,999... = 1

En of dat één bepaalde aanpak echt volstaat om een bewijs te leveren?

Natuurlijk. Het is wiskunde, het is geen biologisch onderzoek naar een nieuw vaccin. Daar moet je vele keren kunnen bewijzen dat het werkt en dat de bijverschijnselen minimaal zijn.
Dat neemt niet weg dat er soms meerdere logische bewijzen mogelijk zijn voor één probleemstelling.

[Wil.]

Tot nu toe zijn hier 3 verklaringen gegeven waarom 0,999.... = 1

1. Als je van het getal 1 het getal 0,999.... aftrekt, dan krijg je nul gevolgd door een nooit eindigende rij nullen na de komma. Er verschijnt nooit een 1 achter de komma.

2. In de openingsposting stond een algebraïsche vergelijking die het bewijs levert.

3. In een posting op blz. 2 heb ik een filosofische benadering uitgewerkt.

[Wil.]

Nog een manier om tot het inzicht te komen dat 0,999 ... = 1

Als je bij 0,999... nog 0,1 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,1 = 0,9 + 0,1 + 0,099... = 1 + 0,099... > 1

Als je bij 0,999... nog 0,01 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,01 = 0,99 + 0,01 + 0,0099... = 1 + 0,0099... > 1

Als je bij 0,999... nog 0,001 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,001 = 0,999 + 0,001 + 0,00099... = 1 + 0,00099... > 1


Hoe klein de fractie ook is die we optellen bij 0,999..., we krijgen altijd een getal groter dan 1.

Bijgevolg is het verschil tussen 1 en 0,999... kleiner dan elk positief getal (en het verschil is vanzelfsprekend zeker niet negatief).

Het moet dus nul zijn. Daarom is 0,999... = 1.

[E.T.]

Mij moet je niet overtuigen, ik heb enkel een probleem met die algebraïsche vervelijking

[Wil.]

Daar moet je dan maar eens goed over nadenken. Aangezien er verscheidene andere wegen zijn die naar het eindresultaat leiden, dan is de weg langs die algebraïsche vergelijking misschien óók wel correct, nietwaar?

[E.T.]

Misschien wel ...

Je kan echter het niet-eindigend getal 0,99999999~9 niet delen, je kan er niks bij optellen, je kan er niks van aftrekken maar vermigvuldigen met tien, jaaaa da lukt wel.

Jij jouw idee, ik het mijne ... zo gaat dat in de moderne wiskunde, toch?

[Wil.]

Je kan echter het niet-eindigend getal 0,99999999~9 niet delen, je kan er niks bij optellen, je kan er niks van aftrekken

Je kunt er wél bij optellen en aftrekken. Voorbeeld:

0,999.... + 0,1 = 1,0999...
0,999... - 0,1 = 0,8999...

[E.T.]

Het niet-eindige getal 0,99999999~9 = 1 toch?

dan is
0,99999999~9 + 0,1 = 1,1 en niet 1,0999...
0,99999999~9 - 0,1 = 0,9 en niet 0,8999...

[Wil.]

Het niet-eindige getal 0,99999999~9 = 1 toch?

dan is
0,99999999~9 + 0,1 = 1,1 en niet 1,0999...
0,99999999~9 - 0,1 = 0,9 en niet 0,8999...

0,999.... = 0,9 + 0,0999...
en nu de optelling:
(0,9 + 0,1) + 0,0999... = 1 + 0,0999... = 1, 0999...

Probeer het eens uit op je zakjapanner.

[E.T.]

De stelling is dat het niet-eindigend getal 0,99999999~9 = 1
toch?
Dus
1 + 0,1 = 1,1
1 - 0,1 = 0,9

[Wil.]

Mijn redenering is opgebouwd om iemand die meent dat 0,999... kleiner is dan 1, een bewijs voor te schotelen dat moeilijk te ontkennen valt.

Als je reeds mee bent met de visie dat 0,999... = 1 dan heeft het geen zin om nog optellingen te maken om daarmee duidelijk te maken hoe de vork aan de steel zit.