Wiskundig probleem
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Je kunt ook delen door 2 of 3 of elk getal, maar het leidt slechts tot een ander repeterend getal.
Dat was ook niet de bedoeling van de openingsposting. Ik was verwonderd over de eenvoud van die vergelijking en over het verbluffende eindresultaat.Het niet-eindig getal 0,99999999~9 mag dan wel 1 zijn maar veel kan je er niet mee, toch?
In deze zaak maakt het niets uit, maar in de wiskunde gebruikt men gelijkaardige berekeningen en formules om dingen te berekenen die in 'de echte wereld' toegepast worden. Het gaat dan over limieten, reeksen en rijen zoals je je wellicht nog herinnert uit het middelbaar.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Waar wil je nu naartoe? Er zijn tal van mogelijkheden om het verkeerde pad te bewandelen.
Het komt erop aan in de wiskunde om precies díe stappen te zetten die naar het te bewijzen doel leiden.
Als je vroeger een stelling van wiskunde moest bewijzen, dan kon je misschien hier of daar een verkeerde redenering invoegen, waardoor je bewijsvoering vastliep. Je bent niks met het bewandelen van de verkeerde weg.
Hier is een weg gevolgd die onmiskenbaar leidt naar een eindresultaat, nl. 0,999... = 1
Natuurlijk. Het is wiskunde, het is geen biologisch onderzoek naar een nieuw vaccin. Daar moet je vele keren kunnen bewijzen dat het werkt en dat de bijverschijnselen minimaal zijn.En of dat één bepaalde aanpak echt volstaat om een bewijs te leveren?
Dat neemt niet weg dat er soms meerdere logische bewijzen mogelijk zijn voor één probleemstelling.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Tot nu toe zijn hier 3 verklaringen gegeven waarom 0,999.... = 1
1. Als je van het getal 1 het getal 0,999.... aftrekt, dan krijg je nul gevolgd door een nooit eindigende rij nullen na de komma. Er verschijnt nooit een 1 achter de komma.
2. In de openingsposting stond een algebraïsche vergelijking die het bewijs levert.
3. In een posting op blz. 2 heb ik een filosofische benadering uitgewerkt.
1. Als je van het getal 1 het getal 0,999.... aftrekt, dan krijg je nul gevolgd door een nooit eindigende rij nullen na de komma. Er verschijnt nooit een 1 achter de komma.
2. In de openingsposting stond een algebraïsche vergelijking die het bewijs levert.
3. In een posting op blz. 2 heb ik een filosofische benadering uitgewerkt.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Nog een manier om tot het inzicht te komen dat 0,999 ... = 1
Als je bij 0,999... nog 0,1 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,1 = 0,9 + 0,1 + 0,099... = 1 + 0,099... > 1
Als je bij 0,999... nog 0,01 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,01 = 0,99 + 0,01 + 0,0099... = 1 + 0,0099... > 1
Als je bij 0,999... nog 0,001 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,001 = 0,999 + 0,001 + 0,00099... = 1 + 0,00099... > 1
Hoe klein de fractie ook is die we optellen bij 0,999..., we krijgen altijd een getal groter dan 1.
Bijgevolg is het verschil tussen 1 en 0,999... kleiner dan elk positief getal (en het verschil is vanzelfsprekend zeker niet negatief).
Het moet dus nul zijn. Daarom is 0,999... = 1.
Als je bij 0,999... nog 0,1 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,1 = 0,9 + 0,1 + 0,099... = 1 + 0,099... > 1
Als je bij 0,999... nog 0,01 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,01 = 0,99 + 0,01 + 0,0099... = 1 + 0,0099... > 1
Als je bij 0,999... nog 0,001 optelt, dan krijg je een getal dat groter is dan 1 want
0,999... + 0,001 = 0,999 + 0,001 + 0,00099... = 1 + 0,00099... > 1
Hoe klein de fractie ook is die we optellen bij 0,999..., we krijgen altijd een getal groter dan 1.
Bijgevolg is het verschil tussen 1 en 0,999... kleiner dan elk positief getal (en het verschil is vanzelfsprekend zeker niet negatief).
Het moet dus nul zijn. Daarom is 0,999... = 1.
Laatst gewijzigd door Wil. op 21 nov 2022, 18:44, 1 keer totaal gewijzigd.
-
E.T. - Lid geworden op: 11 nov 2008, 21:15
Misschien wel ...
Je kan echter het niet-eindigend getal 0,99999999~9 niet delen, je kan er niks bij optellen, je kan er niks van aftrekken maar vermigvuldigen met tien, jaaaa da lukt wel.
Jij jouw idee, ik het mijne ... zo gaat dat in de moderne wiskunde, toch?
Je kan echter het niet-eindigend getal 0,99999999~9 niet delen, je kan er niks bij optellen, je kan er niks van aftrekken maar vermigvuldigen met tien, jaaaa da lukt wel.
Jij jouw idee, ik het mijne ... zo gaat dat in de moderne wiskunde, toch?
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
0,999.... = 0,9 + 0,0999...
en nu de optelling:
(0,9 + 0,1) + 0,0999... = 1 + 0,0999... = 1, 0999...
Probeer het eens uit op je zakjapanner.
-
Wil. - Lid geworden op: 15 nov 2005, 19:41
Mijn redenering is opgebouwd om iemand die meent dat 0,999... kleiner is dan 1, een bewijs voor te schotelen dat moeilijk te ontkennen valt.
Als je reeds mee bent met de visie dat 0,999... = 1 dan heeft het geen zin om nog optellingen te maken om daarmee duidelijk te maken hoe de vork aan de steel zit.
Als je reeds mee bent met de visie dat 0,999... = 1 dan heeft het geen zin om nog optellingen te maken om daarmee duidelijk te maken hoe de vork aan de steel zit.