Wiskundige problemen en probleempjes 2

Vraag 4) Als a, b, c en d, vier verschillende natuurlijke getallen zijn, alle ook verschillend van nul, en a + b = c.d en a + b + c = 2007, hoeveel verschillende waarden kan d dan aannemen?

Uit (a+b = cd) en (a+b+c = 3007) volgt a+b+c = cd+c = 2007. Of d = (2007/c) -1.

Indien c = 1, dan is d = 2007 – 1 = 2006.
Indien c = 3, dan is d = 669 – 1 = 668.
Indien c = 9, dan is d = 223 – 1 = 222.
Einde van de mogelijkheden want 223 is een priemgetal.
Antwoord: d kan 3 waarden hebben: 2006, 668, 222.

Pastoor,
Verkeerd of niet begrepen
dat zal ik wel gekund hebben
goeie avond
lotte.

Aan allen een Zalig Kerstfeest




Groetjes

Sloeberkebebo

Goeden avond allemaal,

Vraag 5) vervangoefening voor de tekening - oefening.
Op een cirkel ligt een vast punt A. Als we nu een ander punt B, willekeurig op de cirkel plaatsen, hoe groot is dan de kans dat de afstand tussen A en B kleiner is dan de straal van de cirkel?

Maak de ingebouwde zeshoek in de cirkel vertrekkende van A met de zijde gelijk aan de straal R. Dit levert 6 gelijkzijdige driehoeken, twee ervan komen samen in punt A.

* Aantal mogelijkheden waar B zich kan bevinden op de cirkel is 2.π.R.

* De afstand AB is kleiner dan R als B op dat cirkeldeel is bepaald door de twee adjacente driehoeken die in A samen komen. En dat is ((2/3).π.R).

* De kans dat AB kleiner is dan R is: ((2/3).π.R)/(2.π.R) = 1/3.
Antwoord: kans is 1/3.


Voor iedereen prettige feesten.

goeie avond iedereen,

we zijn weer helemaal rond.
Gelukkig was pastoor er om de laatste loodjes op te ruimen.
Laatste oefeningen ...

vraag 9) lotte - ?? - pastoor - OK
lotte begreep de oefening volledig. Waarom ze begon met A=0, B=1 enz
versta ik niet goed
Men moest gewoon achteraan beginnen; elk getal is de som van de twee
voorgaande getallen.
Dus: 13 = 5 + 8
8 = 3 + 5
5 = 2 + 3 enz tot we aan de w kwamen.
Goed pastoor.

vraag 4) pastoor - bijna OK
d was (2007:c) - 1; c is dus een deler van 2007.
De delers van 2007 zijn 1, 3, 9, 223 en 2007.
Zo vond pastoor
voor c = 1, d = 2006,
voor c = 3, d =668,
voor c = 9, d = 222, en dan stopt pastoor - er is ook nog
voor c = 223, d = 8
en voor c = 2007 is d = 0 maar dat mag niet want d mag geen 0 zijn.
Besluit pastoor vond 3 van de 4 d-waarden

vraag 5) pastoor - OK
Als een punt B op een afstand gelijk aan de straal van de cirkel van A
ligt, dan is boog AB gelijk aan 60° (of pi / 3).
Nu kan B links en rechts van A op de cirkel gaan liggen.
Zo komen we in totaal aan een boog van 120° (of 2pi / 3),
met A als midden.
Als een willekeurig punt in die boog belandt, voldoet het aan de voorwaarde.
Nu is 120° (of 2pi/ 3) één derde van de ganse cirkel.
De kans op succes voor de ligging van B is dan ook 1/3.

Mooi opgelost ook van pastoor.

Beste pastoor, moest je nu in plaats van 'adjacente' driehoeken
spreken van 'aanliggende' of 'nevenliggende' driehoeken, dan zouden
wij het ook allemaal begrijpen.
Je kunt het natuurlijk ook doen om ons de kans te geven van nieuwe
woorden aan te leren ... en dan is alles ok.

Blijft me nog om iedereen een fijn jaareinde en een mooie start van het
nieuwe jaar te wensen; en laat het mooie van de start dan maar een
gans jaar duren ...

tot later,
denook

Meester Denook

Ik ben niet "heel" gelukkig met het antwoord 1/3.

Want de vraag was AB < R. En AB = R.
Praktisch is het 1/3.

Wiskundig is het
of [AB] min "iets infinitesimaal klein".
of [AB] - (het punt B).
of "Wat is de kans dat [AB] infinitesimùaal kleiner is dan de straal R".

Sloerkebebo heeft die opmerking gemaakt, hij is ook niet gelukkig.

beste pastoor en beste sloeberkebebo,

ik heb vorige dinsdag gesukkeld met de pc en de tekeningen.
Ben dan na 21 uur herbegonnen en voor de drie vragen met
een tekening vlug vervangingsvragen gemaakt.
Ik verander NU een vraag in ... afstand kleiner dan OF GELIJK AAN de
straal van de cirkel ...

Ik wil het niet op mijn geweten hebben dat twee leerlingen door mijn
toedoen het nieuwe jaar ongelukkig ingaan.

Oef ... nu kan ik vannacht rustig slapen.

groetjes aan iedereen,
denook

nog even de puntjes op de i ....

als we aannemen dat een punt op een deel van de cirkel valt met een
kans van 1/3, dan moet dat deel precies één derde van de cirkel zijn.
Een manier om de cirkel in exact drie even grote delen te verdelen:
deel 1: van 0° INBEGREPEN tot 120° NIET INBEGREPEN,
deel 2: van 120° INBEGREPEN tot 240° NIET INBEGREPEN en
deel 3: Van 240° INBEGREPEN tot 360° NIET INBEGREPEN.

nog een goede avond,
denook

beste leerlingen en kijkers,

jullie kregen alvast vele wensen toegezwaaid;
mag ik er nog ééntje aan toevoegen ...
wens iedereen ook een beetje wiskundevreugde in 2010

Oplossingen oefeningen van di 15 december 2009

1) (5p - 3z)² = ... (steunen op formule (a - b)² = a² - 2ab + b²)
geeft (5p)² - 2.5p.3z + (3z)² = 25p² - 30pz + 9z²

2) (x - 6y)³ = ... (steunen op (a - b)³ = a³ - 3a².b + 3a.b² - b³)
geeft x³ - 3.x².(6y) + 3.x.(6y)² - (6y)³ = x³ - 18x²y + 108xy² - 216y³

3) (7a + 8y).(7a - 8y) = ... (steunen op (a + b).(a - b) = a² - b²)
geeft (7a)² - (8y)² = 49a² - 64y²

4) (1/2 + x/3)² = ... (steunen op (a + b)² = a² + 2ab + b²)
geeft (1/2)² + 2.(1/2).(x/3) + (x/3)² = 1/4 + x/3 + x²/9

5) (2ab + 5)³ = ... (steunen op formule (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
geeft (2ab)³ + 3.(2ab)².5 + 3.(2ab).5² + 5³
= 8a³.b³ + 60a²b² + 150a.b + 125

tot morgen voor een nieuw lesje,

denook

goede avond iedereen,

een korte les over 'ONTBINDEN IN FACTOREN'.

De formules van vorige les worden (-samen met enkele andere-)
ook 'merkwaardige producten' genoemd,
vb (a + b).(a - b) = a² - b²
is een 'merkwaardig product'.

Keren we nu gewoon de beide leden om van plaats, dan spreken we
van 'ontbinden in factoren'; we keren terug naar de productvorm,
vb a² - b² = (a + b).(a - b).

Hierna enkele ontbindingen in factoren

ab + ac = a.(b + c)
a² - b² = (a + b).(a - b)
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²

nieuw ook

a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²)

een voorbeeld voor elke formule

1) 3a²bx³ + 6aby² = 3ab.(ax³ + 2y²)
2) 81 - 4a² = (9 + 2a).(9 - 2a)
3) 25 + 20b + 4b² = (5 + 2b)²
4) 9a² - 30ax + 25x² = (3a - 5x)²
5) 27 - a³ = (3 - a).(9 + 3a + a²)
6) a-tot zesde macht + 8b³) = (a²+2b).(a-tot vierde macht - 2a²b + 4b²)

soms kan men meerdere keren na elkaar ontbinden
vb 162 - 2.a-tot vierde macht
= 2.( 81 - a-tot vierde macht)
= 2.(9 + a²).(9 - a²) = 2.(9 + a²).(3 + a).(3 - a)
de vorm 9 + a² is niet verder te ontbinden.

en nu enkele oefeningen voor thuis of privé ...
ontbind zover als mogelijk:
1) 4x² + (4/3).x + 1/9 = ...
2) 18a - 2ax² = ...
3) 125 - x-tot zesde macht = ...
4) 9a²b² - 3ab + 1/4 = ...
5) 144x² - 81y² = ...
6) 8p³ + 27q³ = ...

tot volgende dinsdag voor de eerste problemen en probleempjes
van dit jaar,

denook

dank aan sloeberkebebo voor deze informatie over pi.
Moest men dat getal schrijven, zoals nu berekend, gewoon schrijven
aan een tempo van één cijfer per seconde ... hoeveel tijd zou men daar
voor nodig hebben?

Over pi geraakt men niet uitgepraat noch uitgeschreven.
Er bestaan zelfs kunstwerken rond pi, vriendenclubs rond pi, zelfs poëzie.

Er is ook een pi-steen.
De Nederlander Ludolph Van Ceulen (1540 - 1610) slaagde er in om
tijdens zijn leven pi te schrijven met 35 cijfers na de komma nauwkeurig;
35 cijfers, zonder rekenmachientje. Gans de wiskundige wereld van die
tijd stond in grenzeloze bewondering voor die prestatie.
Na zijn dood werd in zijn grafsteen in de Pieterskerk in Leiden zijn pi-
getal gegrift. Dat is er nog altijd te zien.
In Duitsland sprak men nog lang daarna van 'het Ludolphse getal' in plaats
van pi.

Tussen twee 'wiskundige problemen en probleemjes' door geef ik hier
enkele 'pi-droedels', zoals gegeven in een wiskundeboek, niveau derde
middelbare.

Nog dit ... morgen de eerste nieuwe probleempjes van het nieuwe jaar,
tot dan ... denook

Goede avond aan alle leerlingen en sympathisanten -
eerste reeks problemen en probleempjes van het nieuwe jaar,

1) De teller van een breuk is 50 meer dan de noemer. Voegt men 7 bij teller en noemer, dan wordt de breuk gelijk aan 3.
Over welke breuk ging het?

2) Ik leg willekeurig 3 punten op een boloppervlak.
Hoe groot is de kans dat ze alle drie op eenzelfde halve bol liggen?

3) Hoeveel centiare gaan er in 1600 vierkante centimeter?

4) Welke van volgende waarden zijn gelijk aan elkaar?
(- tracht te controleren zonder gebruik rekenmachientje-)




5) In een rechthoekig assenkruis zijn M(2,4), N(7,3) en P(2,-3) de middens van de zijden van een driehoek.
Bereken de oppervlakte van de driehoek.




7) Ik heb rode, gele en groene stropdassen.
Alle stropdassen zijn rood, op twee na.
Alle stropdassen zijn geel, op twee na.
Alle stropdassen zijn groen, op twee na.
Hoeveel stropdassen heb ik?

8 Iemands fortuin groeit na 1 jaar met 1/8. Het tweede jaar neemt het toe met 4/9 van de nieuwe waarde; het derde jaar met 5/13 van de vorige waarde. Zo is zijn fortuin nu 27000 euro. Hoe groot was het fortuin bij de start?

9) Hoeveel jaartallen zijn er in de 21-ste eeuw waarvan de som van de cijfers 6 is?

10) Drie vrienden verlaten het café. Twee hebben bier gedronken, twee water en twee wijn. De vriend die geen wijn dronk nam ook geen water. Diegene die geen bier dronk, dronk ook geen wijn. Wie heeft wat gedronken?


Leerling oomski is reeds lang afwezig,
Leerling troontje vertrekt op reis naar de andere kant van de aardbol
en kan misschien alleen vanavond een oefening oplossen.
Daarom gaan de overige leerlingen en tandje moeten bijsteken,
tenzij er toch ergens een nieuwe leerling(e) opduikt - zeer graag trouwens, doch die moet dan wel eerst blz 1 lezen om de afspraakjes te kennen.
Veel succes iedereen en tot morgen?
denook

1) De teller van een breuk is 50 meer dan de noemer. Voegt men 7 bij teller en noemer, dan wordt de breuk gelijk aan 3.
Over welke breuk ging het?
n = 18

Oorspronkelijke bruek was 68/18