Wiskundige problemen en probleempjes 2

't Is just pastoor
Hier een andere benadering van het probleem

Sloeber

Goede avond allemaal

Vraag 3
C) cos54°

Groetjes
Sloeber

Juist Sloeberkebebo,

Eigenlijk had ik alleen maar ruit 6 uit te rekenen.
Maar heb ze allemaal gedaan.
Er zijn twee reeksen in de resultaten.

De oneven ruiten 1, 3, 5, 7, 9 .... hebben
in de vierkantswortel een macht van 1, 3, 5, 7, 9 ... van 2.

De even ruiten 2, 4, 6, 8, 10 ... hebben
in de vierkantswortel een getal beginnend met 5
dat telkens 4 maal groter wordt.

goede avond iedereen,

vraag 2)

2x-3=0
2x=3
3:2=1,5
x=1,5



troontje,

goede avond iedereen,

weer vier problemen juist opgelost:

vraag 12) - lotte ok,
vraag 9) - pastoor - ok,
vraag 3) - sloeberkebebo - ok,
vraag 2) - troontje - ok,

mooi zo,
blijven over vragen 4 en 11,
tot straks of morgen,
denook

Goeie avond denook en al de anderen

vraag 11

999 < wortel n < 1001
999² < n < 1001²
998001 < n < 1002001
en n is een 1000-voud,
dus n = 999000, 1000000, 1001000 of 1002000,
zijn dus vier waarden voor n.

Goede avond Denook en de anderen.

Ik had niet voorzien deze te maken.
Op hoop van zege (misschien is het juist).

Vraag 4) In een doos zitten rode, witte en blauwe knikkers; 15 in totaal.
Ik neem steeds twee knikkers uit de doos, bekijk ze en leg ze terug.
Uiteindelijk blijkt dat de kans dat ik een witte en een rode knikker trek, 1/3 is. Hoeveel blauwe knikkers zitten in de doos?

Het aantal groepjes bij het nemen van 2 knikkers is een combinatie.
C(15,2) = 15!/(2!13!) = (15.14)/2 = 105

Een derde of 35 keren is er (r + w).
Dat is 35 keren rood en 35 keren wit.

Twee derde of 70 keren is er
((r + r), ( w + w), (r + b), (w + b) en (b + b)).
Dat is 21 keren rood, 21 keren wit en 28 keren blauw..

Samengevoegd: 56 keren rood en 56 keren wit en 28 keren blauw.
Of verhouding 2, 2, 1.

Antwoord: er zijn 3 blauwe knikkers.

ik had ook drie blauwe pastoor maar anders berekend.
Ik weet ook niet dat het juist is; we zien wel later.
Met de 15 knikkers kunnen we dus 15*14:2 = 105 koppels nemen.
Het aantal koppels met rood en wit is daar een derde van dus 35.
Als r en w hat eental rode en witte knikkers zijn moet dus r*w=35.
Dat kan alleen als r=5 en w=7 of omgekeerd. Zo is r+w=12
en blijven er 3 blauwe over.

groetjes
lotte

Lotte,

Dit was het denkwerk.

Men neemt tegerlijkertijd 2 knikkers, en vandaar de C(2,15).

Bij het nemen van 2 knikkers is 1/3 onregelmatig, komen statistisch meer voor dan de anderen. Dat zijn 35 beurten, 35 witte en 35 rode knikkers.

Dit impliceert ook dat de rest statistisch wel regelmatig is. Indien niet, was er een additionele voorwaarde in de opgave. Vandaar dat de 70 keren 2 knikkers "(r + r), ( w + w), (r + b), (w + b) en (b + b)" voor elk element evenveel keren voorkomen, namelijk 70/10 of 7. En vandaar komt
r 3.7 = 21, w 3.7 = 21 en b 4.7 = 28.

De sommatie van de 70 en 35 levert "56 - 56 -28" of "2 -2 -1",
waaruit volgt dat er 3 blauwe zijn.

* * * * *

Dit begrijp ik niet:
"Als r en w het aantal rode en witte knikkers zijn moet dus r*w=35".
Opgave:
"Uiteindelijk blijkt dat de kans dat ik een witte en een rode knikker trek, 1/3 is". Of 35 keren "een witte en een rode knikker tesamen".
En wat dan met de (105 -35 =) 70 andere gevallen,
waar er "r en b" en "w en b" en "r en r" en "w en w" kunnen zijn?

* * * * *

Meester Denook zal wel beslissen.

goede namiddag iedereen,

heb nu meer tijd dan vanavond; vandaar ...
De laatste vraag - over de knikkers - met een knikkerspel ook
tussen pastoor en lotte, geeft me de kans om er even over uit te
weiden; kansrekening is altijd een stokpaardje van mij geweest.

Probleem: 15 knikkers in totaal, met w(itte), r(ode) en b(lauwe).
Wanneer we, steeds maar opnieuw, twee knikkers uit de doos nemen
en terug leggen, bleek uiteindelijk dat we een kans van 1/3 hebben
voor een knikkerpaar rood-wit.
Dat gegeven is voldoende om uit te rekenen hoeveel blauwe knikkers
er in de doos zitten.

Oplossingen:
lotte: ok en perfect (kort gehouden) geredeneerd,
pastoor: getal juist - ...

Voor iedereen nu:
Op hoeveel manieren kunnen we 15 knikkers twee per twee nemen?
C(15,2) = 15! / (13!.2!) = 15.14/2 = 105 (ok pastoor en lotte)
Als de kans op (w,r) = 1/3 is van het totaal aantal mogelijkheden,
dan zijn er 105 / 3 = 35 mogelijke w-r keuzes.

En nu gebruiken we de productformule.
Denk aan het klassiek voorbeeld uit de humaniora.
Als we van stad A naar stad B vier verschillende wegen hebben,
en van stad B naar stad C, drie verschillende wegen,
dan kunnen we van A naar C gaan, via B op 4.3 manieren.
Hier: als er r rode knikkers zijn en w witte knikkers, dan kunnen
we op r.w manieren een rode met een witte knikker nemen (ok - lotte).
Maar r.w moet 35 zijn.
We hebben dus 5.7 = 35 of 1.35 = 35
Dat laatste kan niet; er zijn maar 15 knikkers in totaal.
Besluit: r en w zijn 5 en 7, of omgekeerd; dus samen 12.
Er blijven dus 3 knikkers over die blauw zijn.
Nemen we aan: 5 rode, 7 witte, 3 blauwe,
dan 5.7 = 35 r-w,
dan 5.3 = 15 r-b,
dan 7.3 = 21 w.b
dan C(5,2) = 5.4/2 = 10 r-r,
dan C(7,2) = 7.6/2 = 21 w-w,
dan C(3,2) = 3.2/2 = 3 b-b.
Alles samen is dit natuurlijk 105,
want we hebben ALLE mogelijkheden genomen en opgeteld.
Mooi toch, om te eindigen.

Rest me enkel nog om de spelers, en de lezers-niet-spelers,
een deugddoend, lang verlof te wensen,

denook

Beste denook,

geniet jij ook van jouw verlofperiode
en bedankt om deze topic te bezielen.

Alle medespelers en lezers, ook voor jullie fijne zomermaanden gewenst.

Groetjes
lotte.

Meester Denook,

Prettig verlof.

Pastoor.


Twee wiskunde boeken ontmoeten mekaar. Zegt het tweede boek tegen het eerste "gelieve mij niet storen, ik heb mijn eigen problemen en probleempjes". (Descartes).

Een goed verlof aan de meester en alle klasgenoten .
't Is te hopen dat wij allemaal in het volgend schooljaar mogen starten ?

Vele groetjes
Sloeberkebebo

troontje,