Wiskundige problemen en probleempjes 2

hallo iedereen,

vanavond ben ik er niet,
daarom nu reeds een kleine tussenkomst.

vraag 10) pastoor - ok
iets korter van uitleg:
A is priemgetal groter dan drie, dus drie is geen deler,
daarom: 3 is deler van A - 1 of A + 1 en dus ook van A² - 1 = (A-1)(A+1)
A-1 en A+1 zijn opeenvolgende even getallen,
dus een ervan is deelbaar door 2, het andere door 4 en dus is
2.4 = 8 een deler van (A-1)(A+1)
Besluit: A² - 1 is deelbaar door 3 en 8, dus altijd ook door 24.

en nu blijft vraag 1,
een duwtje voor iedereen die nog zoekt.

probleem: in doos 6 messen en 6 vorken,
ober neemt zonder kijken 2 stuks en legt ze naast een bord.
gevraagd: hoe groot is de kans dat rechts van het bord een mes en links
van het bord een vork ligt?

duwtje ...
we nummeren de messen en vorken van 1 tot 6.
Op hoeveel manieren kan ik groepjes van twee stuks nemen uit de
twaalf voorwerpen? Combinaties van 12, 2 per 2 (1)

Op hoeveel manieren kan ik een mes én een vork nemen?
Produktverzameling van aantal vorken met aantal messen (2)

Wat is de kans dat, als ik twee stuks neem zonder kijken, ik een mes
én een vork heb? (2)/(1)

Nu kun je het mes nog rechts of links leggen.
De kans dat het rechts ligt en het vork links is dus het gevonden getal
van hierboven nog eens delen door 2.

Als iemand het juiste antwoord geeft (-volgens zijn (haar) uurregeling),
dan mogen anderen graag nog beamen met ... 'had ik ook gevonden'.

groetjes - tot morgen?
denook

Vraag 1) Een ober dekt de tafel. In een doos liggen zes messen en zes vorken Hij neemt er zonder kijken twee stuks uit en legt er een links en een rechts van een bord. Bereken de kans dat rechts van het bord een mes en links ervan een vork ligt.

* De doos met 12 stukken. Het aantal groepjes van 2 stukken dat men daar van kan maken is de Combinatie (2 aan 2, met 12 stuks) = (12! / (10!*2!)) = 66 mogelijke groepjes.

* Het nemen van (1 mes en 1 vork)
Het kiezen van een mes kan op C(1 aan 1, 6 stuks) = 6!/5! = 6 manieren gebeuren.
Het kiezen van een vork kan op C(1 aan 1, 6 stuks) = 6!/5! = 6 manieren gebeuren.
Te samen (één mes EN één vork) kan zich dan op 6*6 = 36 manieren voordoen.
De kans “één mes + één vork uit de doos nemen” is 36/66 = 9/17.

* De kans dat rechts van het bord een mes ligt is (1/2) en inherent is de vork links.

De kans “een mes en één vork uit de doos nemen en juist optafel leggen” is dan: (9/17)*(1/2) = 9/34.

Goeie nacht denook en allen

De kans “één mes + één vork uit de doos nemen” is 36/66 = 9/17

pastoor, mag het

36/66 = 6/11
het antwoord zou dan
3/11 worden

groetjes
lotte.

Lotte,

Is juist en zegge dat ik 36/66 al verbeterd had van een vorige fout.

goede zondagavond iedereen,


we zijn er (-weer-) doorgeraakt.
Als er tien oefeningen zijn en slechts drie spelers,
hebben we minimum 4 dagen nodig om alles op te lossen.
Dat is gelukt, met een speciaal woordje van dank
voor pastoor, die de meeste van de oefeningen voor zijn rekening
nam.

Vanaf volgende reeks zal er steeds minstens één tekening in een
opgave staan, of zal een opgave over een tekening handelen
(-dit keer kwam er geen enkele figuur aan te pas -).
Hou je maar klaar sloeberkebebo!
En Oomski ... weer op reis?

Dinsdag geen nieuwe reeks problemen maar een volgende les
over de 'getallenuitbreiding'.
We voerden steeds nieuwe getallen in als er een bewerking was
die in onze bestaande getallen niet mogelijk was.

Wie vond er nog een bewerking die ook bij de REEELE getallen niet
uit te voeren is?

tot dinsdag,
denook

Nog meer getallen … les 3

Beste lezers, ik kan niet steeds al het nieuwe uit vorige lessen herhalen – ik typ ook niet vlug.
Bedoeling is dat de geïnteresseerden de zaak een beetje bijhouden – weet ondertussen dat dit ook gebeurt – dus doen we nog gemotiveerd verder.

We kennen de getallenverzamelingen, na elkaar ingevoerd: N, Z, Q en R.
In R konden we alle bewerkingen uitvoeren; dat zou dus de ultieme getallenverzameling zijn.
Neen, we zagen één bewerking over het hoofd: de VIERKANTSWORTEL uit een NEGATIEF getal.
We weten: wortel9 = 3 want 3² = 9
Ook, wortel9 = -3, want (-3)² = 9.
Steeds: als wortelA = a, dan is a² = A STEEDS POSITIEF!!!
Daarom: de wortel uit (-4) bestaat niet, want er is geen getal, dat in het kwadraat, -4 geeft.
We schreven ‘bestaat niet’; dit is als we in R werken.
De vierkantswortel uit een negatief reëel getal bestaat niet als reëel getal.
Willen we (wortel uit -9) toch een naam geven, dan moeten we het REELE VERLATEN.
Iets wat NIET REEEL is, is IMAGINAIR (ingebeeld…); daarom, IMAGINAIRE GETALLEN (I), mooi gevonden als naam.

Wat is het principe?
We stellen -1 = i² of (wortel-1)= i,
Dan wordt (wortel-9) = (wortel9i²) = (wortel9).(worteli²) = 3i
Zo kan ‘i’ vooraf worden gegaan door ieder reëel getal: 7i, -5i, 3i/7, enz
Hoofdbewerkingen in I:
7i + 5i = 12i,
5i – 8i = -3i,
(5i).(8i) = 40i² = 40.(-1) = -40 ….. weer REEEL!
(5i)/(8i) = 5i/8i = 5/8 …… weer REEEL, want breuk vereenvoudigd door i.

HOOFDBEWERKINGEN in R, en we BLIJVEN IN R,
HOOFDBEWERKINGEN in I en we GAAN NAAR I OF R.

Wat doen we nu met de bewerking 13 + 7i,
m.a.w. we maken de SOM van een REEEL getal en een IMAGINAIR getal.
Deze som is NIET REEEL, en ook NIET IMAGINAIR;
Het bekomen getal is dus geen element van R noch van I.
( 13 + 7i kan ook niet korter worden geschreven )
Dus hebben we weer een nieuwe naam nodig om dit getal in onder te brengen, en weer
vinden we een goede naam voor zo een getal …
Een getal zoals 13 + 7i met een reëel deel én een imaginair deel, noemen we een COMPLEX GETAL, getal uit de verzameling der COMPLEXE GETALLEN (C).
En nu hebben we eindelijk een getallenverzameling waarin alle bewerkingen die we kennen mogelijk zijn. Weet dat C de ULTIEME UITBREIDING is van de getallen; C bevat ook al onze vroeger ingevoerde getallen ...
Zo is 13 een element van N, doch 13 = 13 + 0i, dus ook een element van C,
7i is een element van I, doch 7i = 0 + 7i, dus ook een element van C, enz …

Schrijf als één complex getal:
(5 + 8i) + (4 – 2i) = 9 + 6i,
(5 + 8i) – (4 – 2i) = 5 + 8i - 4 + 2i = 1 + 10i
(5 + 8i).(4 – 2i) = 5.4 – 5.2i + 8i.4 – 8i.2i = 20 – 10i + 32i – 16i² = 20 + 22i – 16.(-1) = 36 + 22i
hier steunden we op: (a + b).(c - d) = a.c - a.d + b.c - b.d
(5 + 8i) / (4 – 2i) = … ??? Oei, dat is wat anders.
We moeten deze deling van twee complexe getallen ook kunnen schrijven als één complex
getal van de vorm a+bi.
Dat (- en nog ander spannends(?) en moois(?) -) is voor een volgende les.

Een viertal oefeningen voor thuis:
(5 + 5i) + (7 – 6i) + (-3 – 8i) = …
(17 – 5i) – (-12 + 8i) = …
(3 + 11i) . (-4 + 7i) = …
(8 + 3i) . (8 – 3i) = …

veel lees- en cijfer-genot,
denook

Hallo meester Denook en medeleerlingen,
Ik ben niet op reis hoor, maar...kansberekeningen is helemaal niet mijn ding, heb het ook vroeger nooit gezien, en er zijn nog zaken waar ik niet meer mee overweg kan, vandaar. Maar ik ben niet weg hoor.

lieve oomski,

wat ben ik blij je te lezen.
We zullen ons best doen om nog meer 'VOOR ELK WAT WILS'
in de vragen te krijgen.
Er waren vijf REGELMATIGE leerlingen.
Dat aantal mag liefst niet dalen.

Nog iets ...
NIEUWE leerlingen worden met open armen ontvangen
door onze sympathieke hostessen.

En nog iets ...
volgende week is er het herfstverlof.
Daarom: volgende 'problemen en probleempjes'
op dinsdag 10 november,

goede avond iedereen,
denook

Ik heb ook een raadseltje, maar ik kan het antwoord er niet van oplossen ..

Jan, Bob en Tom zijn broers van Hilde en Inge. Inge is drie jaar jonger dan Hilde. De leeftijd van Bob is het rekenkundig gemiddelde van de leeftijden van Jan en Hilde. Jan en Tom samen, alsook Bob en Inge samen, zijn 1 jaar jonger dan tweemaal de leeftijd van Hilde. Jan en Inge samen zijn 1 jaar ouder dan tweemaal de leeftijd van Hilde.
Wie is het oudste kind?
(A) Hilde (B) Inge (C) Bob (D) Jan (E) Tom

beste Ad Fundum,

vandaag pas geregistreerd en meteen op forum;
welkom in het wiskundeklasje, zou ik zeggen.

Ik heb het antwoord gevonden van je probleem.
Wacht nog om het hier te geven ...
de leerlingen krijgen ook kans om het te vinden.
Als er binnen enkele dagen geen antwoord komt,
plaats ik het wel zelf.

Mag ik even stout zijn ...
Het is toch geen schoolopgave van een kind of kleinkind?
Dat mag hoor - zijn eerstvolgende schooldag
is toch pas op 9 november.

groetjes, denook

goede avond aan alle leerlingen,

vorig jaar losten we op:
- vergelijkingen eerste graad met één onbekende,
- vierkantsvergelijking of tweedegraadsvergelijking.

Na onze huidige theorie-lessen over alle soorten getallen,
starten we met:
'stelsels van meerdere vergelijkiingen met meerdere onbekenden'.

Dat zal op dat ogenblik niet moeilijk zijn. Nu misschien wel nog.
De oefening hierboven gaat over 5 onbekenden, waarmee je 5
vergelijkingen kunt schrijven.
Ik weet niet of iemand het zal vinden; het kan ook via met een nogal
grote omweg ...
We zien wel, probeer maar eens,
Ad Fundum wacht op ons.

slaap wel,
deugddoend weekend,
denook

Jan, Bob en Tom zijn broers van Hilde en Inge. Inge is drie jaar jonger dan Hilde. De leeftijd van Bob is het rekenkundig gemiddelde van de leeftijden van Jan en Hilde. Jan en Tom samen, alsook Bob en Inge samen, zijn 1 jaar jonger dan tweemaal de leeftijd van Hilde. Jan en Inge samen zijn 1 jaar ouder dan tweemaal de leeftijd van Hilde. Wie is het oudste kind?
(A) Hilde (B) Inge (C) Bob (D) Jan (E) Tom.
* * *
Stel: Hilde = A, Inge = B, Bob = C, Jan = D, Tom = E.

Dit zijn de 5 vergelijkingen met 5 onbekenden.
1A = B + 3
1A = 2C - D (want C = (A + D)/2) of (2C = A + D).
2A = D + E + 1 (de enige E is hier, deze vergelijking nu niet gebruiken).
2A = C + B + 1
2A = D + B - 1

Dit zijn dan 4 vergelijkingen met 4 onbekenden.
1A = B + 3
1A = 2C - D
2A = C + B + 1
2A = D + B - 1

Vervang overal de A door (B+3)
Dit zijn dan 3 vergelijkingen met 3 onbekenden
B = 2C – D - 3
B = C - 5
B = D - 7

Dit zijn dan 2 vergelijkingen met 2 onbekenden
2C – D - 3 = C – 5, of ((C – D) = -2) (1)
2C – D - 3 = D – 7, of ((2C – 2D) = -4) (2)

Vergelijking (1) vermenigvuldigd met 2 = vergelijking (2).
Indien dit allemaal juist is, dan zijn er volgens de opgave maar 4 vergelijkingen met 5 onbekenden, wat mathematisch niet oplosbaar is.

* * * *
Heb ik een fout gemaakt?
* * * *
Geen wiskunde, maar logica.

Inge is drie jaar jonger dan Hilde.
Dus Hilde is ouder dan Inge.

Jan en Inge samen zijn 1 jaar ouder dan tweemaal de leeftijd van Hilde.
Dus Jan is ouder dan Hilde. Jan is de oudste tot hier toe.

De leeftijd van Bob is het rekenkundig gemiddelde van de leeftijden van Jan en Hilde. Dus Bob is ouder dan Hilde, en Bob is jonger dan Jan. Jan is de oudste tot hiertoe.

Bob en Inge samen, zijn 1 jaar jonger dan tweemaal de leeftijd van Hilde.
Dus Hilde is ouder dan Bob en Inge. Jan is de oudste tot hiertoe.
Verbetering 01/1109: Dus Hilde is ouder dan (Bob en Inge te samen, Bob was ouder dan Hilde in de vorige paragraaf ). Jan is de oudste tot hiertoe. Einde verbetering.

Jan en Tom samen zijn 1 jaar jonger dan tweemaal de leeftijd van Hilde.
Onbelangrijke informatie.

Jan is de oudste.

Bedankt, ik had het nog niet bekeken via de logica :O

goede avond iedereen,

door Ad Fundum komt er ook wat animo tijdens de verlofdagen.
Ik wist dat (-minstens-) pastoor er zou op inspelen, en hoe !!

We trekken een paar bochten recht en verfijnen ook wat ...

1) pastoors' logisch denken werkt prima -
juist geredeneerd, op een klein schoonheidsfoutje na, dat geen invloed
heeft op het feit dat jan de oudste is.
Wanneer we weten dat Bob en Inge samen 1 jaar jonger zijn dan twee-
maal Hilde en Hilde was al 3 jaar ouder dan Inge, dan moet Bob ouder
zijn dan Hilde, en niet Hilde ouder dan Bob, zoals jij schrijft.
Maar kom, dat had geen invloed op 'Jan is de oudste'.

2) en dan de vergelijkingen...
Pastoor start met 5 juiste vergelijkingen en 5 onbekenden -
gaat over naar 4 vergelijkingen met 4 onbekenden -
gaat over naar 3 vergelijkingen met 3 onbekenden -
deze waren alle correct; ik herneem ze:
B = 2C - D - 3
B = C - 5
B = D - 7,
volgende stap: overgaan naar 2 vergelijkingen met 2 onbekenden
en wat blijkt: hij vindt nog één vergelijking met 2 onbekenden:
C - D = -2, weer nog volledig juist.
Dus, we hebben eigenlijk 4 vergelijkingen met 5 onbekenden, zegt
pastoor - nog altijd juist - en dat is MATHEMATISCH NIET OPLOSBAAR.
En hier, helemaal op het einde, loopt het fout.

Binnen enkele lessen gaan we stelsels systematisch oplossen.
'DE' te onthouden regels vóór we gaan oplossen zijn:
- evenveel vergelijkingen als onbekenden: gewoonlijk EEN OPLOSSING,
- meer vergelijkingen dan onbekenden: gewoonlijk GEEN OPLOSSINGEN,
- meer onbekenden dan vergelijkingen: gewoonlijk ONEINDIG VEEL
OPLOSSINGEN.
'gewoonlijk' betekent hier telkens: BIJNA ALTIJD.
Stel dat je de rest van je leven alleen maar stelsels schrijft van telkens
twee vergelijkingen, met twee onbekenden en 'willekeurige' getallen,
voorbeeld:
3,6758x + 0,67y = wortel17,
-4/87x = 45367y = 45,
dan zullen AL DIE STELSELS steeds één oplossing hebben.

Zijn er meer onbekenden dan vergelijkingen,
dan zijn er dus 'gewoonlijk' oneindig veel oplossingen; gewoonlijk bete-
kent hier ook 'bijna altijd'.

een voorbeeld: één vergelijking, twee onbekenden

2x + 3y = 38, oneindig veel oplossingen; voorbeeld:
kies x, bv x = 10, dan is y = 6,
x = 12, y = 14/3
x = 0, y = 38/3
x = 19, y = 0 enz, enz ...

en nu naar ons kinderprobleem van Ad Fundum,

de laatste vergelijking was C- D = -2
hier zijn dus weer oneindig veel oplossingen;
ik KIES C = 8,
dan is D = 10,
een vorige vergelijking B = C - 5 geeft dan B = 8 - 5 = 3, een vorige vergelijking van pastoor wordt dan 2A = C + B + 1 = 12, of A = 6
tenslotte 2A = D + E + 1 wordt 12 = 10 + E + 1 of E = 1
de leeftijden worden zo:
E = Tom = 1,
B = Inge = 3,
A = Hilde = 6,
C = Bob = 8 en
D = Jan = 10,
controleer maar alle gegevens uit het probleem met deze leeftijden.
Nog iets: kies een andere startwaarde voor C en alle andere waarden
zullen volgen, maar steeds zal Jan de oudste zijn.

Had de vraag in het vraagstuk geweest 'hou oud is de oudste', dan zou
dat niet op te lossen zijn, omwille van ... nogmaals, het 'oneindig aantal'
oplossingen van het stelsel.

Later pakken we de stelsels traag, logisch, gemakkelijk aan.
Wie het wil bijhouden zal er wel klaar in zien.

Nog een Zalige Hoogdag morgen,
denook