Wiskundige problemen en probleempjes 2

goede avond iedereen,
we gaan verder...

Vraag 10) - pastoor - ok
verbetering troontje - telt niet als echte beurt

vraag 8 ) - sloeberkebebo - ok
met juiste figuur en getallen

vraag 3 - pastoor - ok
en zeer volledig.
Iets eenvoudiger:
- als ab vooraan moet in die volgorde
schieten c, d, e en f over; dus Permutaties van 4 elementen
- als 'abc' in die volgorde moet blijven hebben we eigenlijk ook
4 letters: abc, d, e en f; dus weer permutaties van 4 elementen
- als in vorig geval, de a, b en c onderling mogen verwisselen
kunnen we met iedere permutatie van hierboven 3! nieuwe volgorden
maken
dus:
- P(4) = 24
- P(4) = 24
- P(4).P(3) = 144

vraag 1) - lotte - ok
en later nog een rits juiste antwoorden van pastoor

vraag 6) - troontje - niet ok
We kunnen met minder dan 11 personen de kamer ook vullen,
als ze allen een of andere familieband hebben zoals gegeven.

blijven dus over:

vragen 2, 6 en 9

tot morgen,
denook

Beste allen

voor vraag 6

aanwezig in de kamer:
A(ndré), met dochter C(hristine),
B(ieke), met zoon D(irk),
C x D zijn dus gehuwd, en hebben als kinderen
E(rik), F(loor) en G(ermaine) ... zijn dus 7 personen

Nu de controle:
1 grootvader (A), 1 grootmoeder (B), 2 vaders (A en D), 2 moeders (B,C)
5 kinderen (C, D, E, F en G), 3 kleinkinderen (E, F en G), 1 broer (E),
2 zussen (F en G), 2 zonen (D en E), 3 dochters (C, F en G), 1 schoon-
vader (A), 1 schoonmoeder (B), 1 schoondochter (C)

Goeden avond allemaal ,
Vraag 2
Liesje is nu : 7x4=28 jaar oud
Groetjes
Sloeber

Goede avond Denook en de anderen

Vraag 9) Chevalier de Méré, een verwoed gokker, legde rond 1650 het volgende probleem voor aan de beroemde wiskundige Pascal. A en B spelen een spel met gelijke winstkansen voor ieder. Elke speler zet 32 goudstukken in. Wie het eerst 3 partijen wint, krijgt de hele inzet. Bij de stand 1 – 0 voor A, wordt de partij stil gelegd. Hoe moet de inzet verdeeld worden?

Begin kopie van Wikipedia.
http://nl.wikipedia.org/wiki/Driehoek_van_Pascal
Pascal komt tot de algemene formulering van een spel, waar bij het afbreken de ene speler nog m keer moet winnen en de andere speler nog n keer om de pot te verkrijgen. Zijn oplossing is dat de pot verdeeld moet worden in de verhouding (n / m) van de winstkansen van beide spelers bij de eindstand.
Einde kopie Wikipedia.

Bij het afbreken moet een speler nog 2 maal spelen om te winnen en de andere nog 3 maal.

Bernouille experiment. Binomium van Newton.
Experiment met 2 mogelijkheden.
De ene uitkomst is succes (s) en de kans hiervoor wordt voorgesteld door P(s) = p. De andere uitkomst is mislukking (m) en de kans hiervoor wordt voorgesteld door P(m) = q. Dan is s = succes hebben met P(s) = 1 / 2.
Dan is m = mislukking met P(m) = 1 /2.

De kans om x juiste bij n proeven is:
C(n,x).(p tot de macht x).(q tot de macht n-x)

* * * * * * *

Speler een won bij de eerste partij.
Men moet maximaal 4 maal spelen opdat een van de spelers de 3 partijen wint. Speler een moet 2 keren winnen om het eerst de 3 partijen te winnen.
De kans om 2 juiste bij 4 proeven =
C(4,2).p.p.q.q = 6.( 1 / 4 ).( 1 / 4 ) = 6 / 16.

Speler twee verloor bij de eerste partij.
Men moet maximaal 4 maal spelen opdat een van de spelers de 3 partijen wint. Speler twee moet 3 keren winnen om het eerst de 3 partijen te winnen.
De kans om 3 juiste bij 4 proeven =
C(4,3).p.p.p.q = 4.( 1 / 8 ).( 1 / 2) = 4 / 16.


Antwoord: de pot moet verdeeld worden in de verhouding 6 / 4 = 3 / 2, of 60 % voor de eerste speler en 40 % voor de tweede speler.

goede namiddag iedereen,
we zijn er .... BIJNA ....

vraag 6) - lotte - ok
is zij specialiste in stambomen maken?

vraag 2) - sloeberkebebo - ok
Als iemand op een zaterdag 29 februari wordt geboren,
dan duurt het inderdaad 28 jaar,
vooraleer hij (zij) weer op een zaterdag de echte verjaardag
viert op een 29-ste februari.

vraag 9) - pastoor - niet ok

een beetje uitleg - was ook niet zo gemakkelijk.

Als (bij jou) A, 6/16 kansen heeft om te winnen en B, 4/16;
dat geeft samen 10 kansen op 16.
Wie wint er dan in de overige 6/16 gevallen?
Eerste gulden regel:
bij elke kansverdeling is de som van alle mogelijke kansen steeds 1.

Een Bernoulli-experiment is een experiment waarvan de uikomsten-
verzameling slechts twee elementen bevat.
Is hier volledig ok bij jou: óf A wint, óf B wint,
beiden met een kans van 1/2 (-per spel-) op succes.

Dan gaat u over op de Binomiale verdeling (een kansexperiment bestaan-
de uit n onafhankelijke herhalingen van eenzelfde Bernoulli experiment).
voorbeeld:
wat is de kans om bij 5 maal dobbelsteen gooien, 3 maal een 2 te gooien?
kans s (succes) = 1/6
kans m (mislukken) = 5/6,
n aantal beurten: 5
aantal keren succes gevraagd: 3
formule: Combinaties(5,3) . s³.m² = 10 . (1/6)³ . (5/6)² = 250 / 7776.
Ook deze formule ken je goed, doch hier komt meer kijken.
Bij stand 1-0 voor A, en A moet winnen,
kan dit gebeuren na 2, 3 of 4 overige partijen en dat gebruik je niet;
voor B kan het in 3 of 4 partijen.

En nu voor iedereen!
De kans voor iedere uitslag bij iedere partij is steeds 1/2.

We starten bij 1-0 voor A
Een volgend verloop is bv: 2-0 / 2-1/ 3-1, gedaan , A wint;
kans voor dit verloop: 1/2.1/2.1/2 = 1/8
Een ander verloop: 1-1/ 1-2/ 2-2/ 2-3, gedaan, B wint.
kans voor dit verloop: 1/2.1/2.1/2.1/2 = 1/16.

Wanneer je, vertrekkend van 1-0, op deze manier alle mogelijke volgende
scenario's opschrijft (... zijn er niet zo veel ...) en je schrijft er telkens
de kans per scenario bij, dan ben je zeker dat je alle scenario's hebt,
als de som van je kansen '1' is geworden.
Dan kijk je welk deel van die '1' voor A is en welk deel voor B.
Zo zie je dan ook direct hoe de 64 goudstukken moeten verdeeld worden.

Puzzel maar, is prettig,
tot morgen,
denook

ps. kom niet te vlug kijken.
Misschien staat het antwoord er al
(van iemand die vroeger kwam lezen),
en is bij jou de 'veer gebroken' om verder te doen.

Goede avond Denook:

Ik wist heel goed dat het 16/16 moest zijn, maar ik ben er niet geraakt.
De fout is dus dat ik ben gaan rekenen na het eerste spel, zonder te gaan kijken welke mogelijke spelletjes er nog konden komen.

Puzzelwerk.

1 - 0 / 2 - 0 / 3 -0 /. ( A: 1/4 ).

1 - 0 / 2 - 0 / 2 -1 / 2 - 2 / 3 - 2 /. ( A: 1/16 ).
1 - 0 / 2 - 0 / 2 -1 / 2 - 2 / 2 - 3 /. ( B: 1/16 ).
1 - 0 / 2 - 0 / 2 -1 / 3 - 1 /. ( A: 1/8 ).

1 - 0 / 1 - 1 / 2 - 1 / 2 - 2 / 3 - 2 /. ( A: 1/16 ).
1 - 0 / 1 - 1 / 2 - 1 / 2 - 2 / 2 - 3 /. ( B: 1/16 ).
1 - 0 / 1 - 1 / 2 - 1 / 3 - 1 /. ( A: 1/8 ).

1 - 0 / 1 - 1 / 1 - 2 / 2 - 2 / 3 - 2 /. ( A: 1/16 ).
1 - 0 / 1 - 1 / 1 - 2 / 2 - 2 / 2 - 3 /. ( B: 1/16 ).
1 - 0 / 1 - 1 / 1 - 2 / 1 - 3 /. ( B: 1/8 ).

A: 1/4 + 1/16 + 1/8 + 1/16 + 1/8 + 1/16 = 11/16
A krijgt (11/16) * 64 goudstukken = 44 goudstukken.

B: 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/8 = 5/16.
B krijgt (5/16) * 64 goudstukken = 20 goudstukken.

goede avond iedereen,

nu zijn we er helemaal.
Een extra proficiat voor pastoor,
die niet alleen een verstandige leerling is,
doch ook een volgzame leerling kan zijn indien nodig.

volgende problemen: dinsdag 7 juni 2011,
tot dan, denook

plezant tussendoortje:
een geestig gedichtje, wiskundig getint
( -plaatste het ook al bij 'Poëzie en Proza'- ).

Transseksueel

Toen ik in moeders armen lag
- ze voelde zich bijzonder rijk -
riep zij vol trots naar wie mij zag:
'Het is een echte kubus, kijk!'

Ik was een kubus naar men zei,
met zijden, hoeken, waterpas,
maar ach mijn ziel vertelde mij,
dat ik een piramide was.

Ik trok vanuit een diepe drang
steeds piramidekleren aan.
Ik vocht er tegen jarenlang,
maar ging steeds piramider staan.

Mijn psychiater gaf het op.
Geen praatgroep wist een therapie.
Ik vond na jarenlang getob
mijn redding in de chirurgie.

In een luguber soort kliniek,
waar men van hoge prijzen houdt,
werd ik - de ingreep was uniek -
tot piramide omgebouwd.

Nu zit ik lekker in mijn vel
en mijn probleem is opgelost,
al heeft die hele grap me wel
vier ribben uit mijn lijf gekost.


Marjolein Kool (1958)
wiskundige en letterkundige
en in Nederland een 'grote' dame,

denook

Tek. voor de vragen van meester Denook

7 juni 2011,
voorlaatste reeks wiskundige problemen en probleempjes van dit schooljaar,

1) Hoeveel getallen kun je schrijven van de vorm ABABAB, als A en B
verschillende cijfers zijn en het getal niet mag beginnen met 0?

2) Als we 5053, 23947, 28367 en 925933 alle delen door eenzelfde getal, krijgen we als rest respectievelijk 13, 7, 17 en 1. Door welk getal kunnen we dan gedeeld hebben?

3)Mijn koekoeksklok slaat om 1 uur (13 uur), eenmaal; om 2 uur (14 uur), tweemaal; om 3 uur ( 15 uur), driemaal; enz.
Ieder half uur slaat ze telkens eenmaal.
Om kwart voor ??? uur begin ik te tellen. Na een tijdje heb ik ze 38 keer gehoord Hoe laat ben ik beginnen tellen?

4) In de figuur van sloeberkebebo zien we een rechthoekige driehoek.
Met elke zijde van de driehoek als zijde, tekenen we een regelmatige zeshoek.
Als de oppervlakten van de zeshoeken op de rechthoekszijden 1 m² en 2 m² zijn, bereken dan de oppervlakte van de zeshoek op de schuine zijde.

5) Ik heb vijf kubusvormige vaten, alle gevuld met water. Ze zijn respectievelijk:
een kwart kubieke meter / een kubieke halve meter / een achtste kubieke meter / een kubieke kwartmeter en een halve kubieke meter.
Is het mogelijk om daarmee een leeg kubusvat van 1m³ te vullen?

6) Welk getal ontbreekt? 5, 8, 12, 18, 24, 30, 36, ???, 52, 60 …

7) Ik heb een aantal muntstukken op zak.
Op één na zijn het allemaal stukken van 2 euro.
Op één na zijn het allemaal stukken van 1 euro.
Hoeveel geld heb ik op zak?

8 )Op de figuur van sloeberkebebo zien we een rechthoekige driehoek ABC.
B is de rechte hoek en hoek A = 30°; DE is evenwijdig aan zijde BC.
Als oppervlakte ABC = driemaal oppervlakte ADE, wat is dan juist?
A) afstand AE = afstand BD,
B) afstand AD = afstand DB,
C) afstand AE = afstand BC,
D) afstand AD = afstand EC,
E) afstand AD = afstand BC

9) Schrijf 10 als volgt: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10.
Vervang nu zoveel +-tekens als je wil door x-tekens, en je mag ook haakjes plaatsen;
voorbeeld: 1 x 1 x (1 + 1 + 1 + 1) + (1 x 1) x (1 + 1) = 6.
Hoe krijg je op die manier het grootst mogelijke getal als resultaat?

10) Sommige getallen kun je schrijven als de som van twee kwatraten;
voorbeeld: 13 = 2² + 3².
Wat is het kleinste getal dat je zo op twee verschillende manieren als een som van twee, al of niet verschillende kwadraten, kunt schrijven?

veel succes iedereen,
dank aan sloeberkebebo
en tot morgen,
denook

Goede avond Denook en de anderen.

Het antwoord op vraag 4 is 3.
(1, 2, 3)
Nog rekenen.

Goeie avond denook en allen

vraag 7

3€

Berekening

De zijde (Z1) van zeshoek met oppervlakte = 1 m².
Hoogte driehoek √(Z²-(Z/2)²) = (Z/2).√3
Oppervlakte driehoek = (1/2).Z.(Z/2).√3 = Z².(√3)/4
Oppervlakte zeshoek: 1 = 6.Z².(√3)/4 = (3/2).Z².√3
Of (Z1)² = 2/(3.√3)

De zijde (Z2) van zeshoek met oppervlakte = 2 m². (analoog).
Of (Z2)² = 4/(3.√3)

De zijde (Z3) van een zeshoek met oppervlakte ‘?’ .
(Z3)² = (Z1)² + (Z2)² = 6/(3.√3)
Of (Z3)² = 6/(3.√3)

De oppervlakte van die zeshoek.
Hoogte driehoek: (2/√3) - (1/2)².(2/√3) = 3/(2.√3)
Oppervlakte driehoek (1/2).√(2/√3).√(3/(2.√3)) = (1/2).

Oppervlakte zeshoek is 6.(1/2) = 3 m².

Goeden avond allemaal
Vraag 8
E) AD=BC
Groetjes
Sloeber