Wat staat op de grafsteen van een wiskundige?
"Daar had hij niet op gerekend"
"Daar had hij niet op gerekend"
Wiskundig probleem
Of, om mooi aan te sluiten bij dit draadje:
"Hoeveel wiskundigen liggen hier begraven? 0,999999999999 ..."
"Hoeveel wiskundigen liggen hier begraven? 0,999999999999 ..."
Laatst gewijzigd door Wil. op 11 okt 2022, 19:13, 1 keer totaal gewijzigd.
Als de rij 0,999999999..... oneindig is dan is het antwoord 1.
Als dat niet oneindig is dan is het antwoord kleiner dan 1.
Vermits oneindig niet bereikbaar is in de wiskunde is het antwoord kleiner dan 1.
Het voorbeeld van hier staat erbij.
Dat staat in het internet onder een wikipedia met Dedekind cuts
Als dat niet oneindig is dan is het antwoord kleiner dan 1.
Vermits oneindig niet bereikbaar is in de wiskunde is het antwoord kleiner dan 1.
Het voorbeeld van hier staat erbij.
Dat staat in het internet onder een wikipedia met Dedekind cuts
Sudoku, wijntjes proeven, genieten.
Jaa, die mijnheer Dedekind is een specialleke, die oplossingen maakt voor wiskundige problemen. En vaststelt dat met oneinige getallen niet te werken valt en daarom stelt
dat 0,99999999...9 eigenlijk 1 is
dat 22/7 geen einde kent en daarom Pi is.
In de echte wereld, waar oneindig wel bestaat telt onderstaande som
0,99999999...9 + 0,00000000...1 = 1
dus het oneindig getal 0,9 is kleiner dan 1
dat 0,99999999...9 eigenlijk 1 is
dat 22/7 geen einde kent en daarom Pi is.
In de echte wereld, waar oneindig wel bestaat telt onderstaande som
0,99999999...9 + 0,00000000...1 = 1
dus het oneindig getal 0,9 is kleiner dan 1
Ondertussen ook een idee over de fout in die eerste vergelijking. Daar vermenigvuldig je het oneindig getal met 10 om dan te beweren dat je de uitkomst weet ...
Twee reacties:
1. De vermenigvuldiging X 10 is wel toegelaten. Je verplaatst de komma en het getal blijft eindeloos herhalend. Ook vóórdat ik de vermenigvuldiging met 10 had gemaakt, had ik reeds 'een uitkomst' , nl. we stellen X gelijk aan 0,999... en vervolgens maken we met die vergelijking enkele toegelaten, eenvoudige rekenkundige bewerkingen. Die leidt naar de finale uitkomst op de onderste regel.
2. De echte wereld is er één waarin je afrondingen maakt. Maar dan gebruik je in feite niet het getal waarover wij het hier hebben. In de theorie van de wiskunde werkt men zo niet.
1. De vermenigvuldiging X 10 is wel toegelaten. Je verplaatst de komma en het getal blijft eindeloos herhalend. Ook vóórdat ik de vermenigvuldiging met 10 had gemaakt, had ik reeds 'een uitkomst' , nl. we stellen X gelijk aan 0,999... en vervolgens maken we met die vergelijking enkele toegelaten, eenvoudige rekenkundige bewerkingen. Die leidt naar de finale uitkomst op de onderste regel.
2. De echte wereld is er één waarin je afrondingen maakt. Maar dan gebruik je in feite niet het getal waarover wij het hier hebben. In de theorie van de wiskunde werkt men zo niet.
Laatst gewijzigd door Wil. op 12 okt 2022, 10:23, 1 keer totaal gewijzigd.
Ik ga de filosofische benadering proberen uit te leggen. Hierbij komen heel weinig wiskundige formules te pas. Je moet wel weten wat de macht van een getal is.
Vermoedelijk moet je de redenering twee keer traag lezen om het inzicht te verwerven.
Als men 0,9, 0,99, 0,999, enz. op de getallenlijn plaatst, ziet men onmiddellijk dat al deze punten links van 1 liggen en dat ze steeds dichter bij 1 komen. Bemerk ook dat elk getal altijd dichter bij het voorgaande aansluit, want de afstand tussen 0,8 en 0,9 is 1/10 maar tussen 0,9 en 0,99 is het slechts 9/100 wat iets kleiner is dan 1/10 enz. De tekening geeft dat niet goed weer, maar je snapt het principe.
Om precies te zijn, de afstand van 0,9 tot 1 is 0,1 = 1/10. De afstand van 0,99 tot 1 is 0,01 = 1/100 ofwel 1/10 kwadraat, wat men schrijft als 1/10^2, enzovoort. De afstand tot 1 vanaf het n-de punt (die met n negens achter de komma) is 1/10^n. In onze opstelling kan n elk mogelijk getal zijn en bijgevolg kan n ook oneindig worden (symbool ∞ )
Daarom, als 1 niet het kleinste getal groter dan 0,9, 0,99, 0,999, enz. was, dan zou er nóg een punt op de getallenlijn zijn dat tussen 1 en al deze punten ligt. Dit punt zou op een positieve afstand van 1 liggen die kleiner is dan 1/10^n voor elk geheel getal n.
In de standaard getalsystemen (de rationale getallen en de reële getallen) is er geen positief getal dat kleiner is dan 1/10n voor alle n, en zoals gezegd kan n ook ∞ zijn.[ Dat standaard getalsysteem omvat de 'gewone getallen' en ook alle getallen die na de komma niet oneindig verder lopen. ]
Daarom is 1 het kleinste getal dat groter is dan alle 0,9, 0,99, 0,999, enz., en dus valt 1 helemaal samen met 0,999… oneindig herhalend.
Opgelet! Lees de voorgaande zin als "1 is het kleinste getal dat groter is dan 0,9; dat groter is dan 0,99; dat groter is dan 0,999 enzovoort, maar dat wel móet samenvallen met 0,999... oneindig herhalend.
Daaruit besluit men dat 1= 0,999... oneindig herhalend.
Vermoedelijk moet je de redenering twee keer traag lezen om het inzicht te verwerven.
Als men 0,9, 0,99, 0,999, enz. op de getallenlijn plaatst, ziet men onmiddellijk dat al deze punten links van 1 liggen en dat ze steeds dichter bij 1 komen. Bemerk ook dat elk getal altijd dichter bij het voorgaande aansluit, want de afstand tussen 0,8 en 0,9 is 1/10 maar tussen 0,9 en 0,99 is het slechts 9/100 wat iets kleiner is dan 1/10 enz. De tekening geeft dat niet goed weer, maar je snapt het principe.
Om precies te zijn, de afstand van 0,9 tot 1 is 0,1 = 1/10. De afstand van 0,99 tot 1 is 0,01 = 1/100 ofwel 1/10 kwadraat, wat men schrijft als 1/10^2, enzovoort. De afstand tot 1 vanaf het n-de punt (die met n negens achter de komma) is 1/10^n. In onze opstelling kan n elk mogelijk getal zijn en bijgevolg kan n ook oneindig worden (symbool ∞ )
Daarom, als 1 niet het kleinste getal groter dan 0,9, 0,99, 0,999, enz. was, dan zou er nóg een punt op de getallenlijn zijn dat tussen 1 en al deze punten ligt. Dit punt zou op een positieve afstand van 1 liggen die kleiner is dan 1/10^n voor elk geheel getal n.
In de standaard getalsystemen (de rationale getallen en de reële getallen) is er geen positief getal dat kleiner is dan 1/10n voor alle n, en zoals gezegd kan n ook ∞ zijn.[ Dat standaard getalsysteem omvat de 'gewone getallen' en ook alle getallen die na de komma niet oneindig verder lopen. ]
Daarom is 1 het kleinste getal dat groter is dan alle 0,9, 0,99, 0,999, enz., en dus valt 1 helemaal samen met 0,999… oneindig herhalend.
Opgelet! Lees de voorgaande zin als "1 is het kleinste getal dat groter is dan 0,9; dat groter is dan 0,99; dat groter is dan 0,999 enzovoort, maar dat wel móet samenvallen met 0,999... oneindig herhalend.
Daaruit besluit men dat 1= 0,999... oneindig herhalend.
Laatst gewijzigd door Wil. op 12 okt 2022, 10:34, 1 keer totaal gewijzigd.
Ik zei toch dat Dedekind een specialleke was, ene die het oneinige berekende.
Dus 0,99999999~9 = 1
En wat te denken van 22/7 = Pi
Dus 0,99999999~9 = 1
En wat te denken van 22/7 = Pi
Je mist m´n punt.
Het oneindigen bereken lukt ze wel maar daar is dan dat ene getal waarbij dat dan weer niet lukt en daar hebben ze er dan maar een naam aan gegeven ...
Wiskundige, rare jongens.
Het oneindigen bereken lukt ze wel maar daar is dan dat ene getal waarbij dat dan weer niet lukt en daar hebben ze er dan maar een naam aan gegeven ...
Wiskundige, rare jongens.
Dat getal Pi is een andere zaak. De enige gelijkenis met 0,999... is dat Pi ook oneindig blijft doorgaan na de komma.
De hoofdzaak was dat je nu ook tot de slotsom komt dat 0,999... oneindig herhalend gelijk is aan 1.
Daarvan ben ik in de allereerste posting vertrokken. Dat leek toen onlogisch en zelfs fout, maar hoe langer men erover nadenkt, hoe meer men het kan aanvaarden en zelfs begrijpen.
De hoofdzaak was dat je nu ook tot de slotsom komt dat 0,999... oneindig herhalend gelijk is aan 1.
Daarvan ben ik in de allereerste posting vertrokken. Dat leek toen onlogisch en zelfs fout, maar hoe langer men erover nadenkt, hoe meer men het kan aanvaarden en zelfs begrijpen.
Enkel in een wereld waar de oneindigheid niet kan bereikt worden Wil, belangrijke nuance.
Maar de wiskunde is NIET die wereld. In de wiskunde bestaat en gebruikt men dat begrip 'oneindig' wel degelijk. Dat was het vertrekpunt in mijn openingsposting.
Natuurlijk gebruikt men in de wiskunde de term "oneindig" men heeft er zelfs een symbool voor de liggende 8 zit echter niet op mijn foon.
Maar op een gegeven moment stelt men dat 0,99999999~9 wel 1 zal zijn omdat het verschil oneindig klein is. Ik kan daar best mee leven hoor als dat nodig is om niet helemaal gek te worden.
Blijf het echter gek vinden dat van Pi wel aanvaard wordt dat het oneinig is.
Ik zou zeggen op naar het volgende wiskundig raadsel ...
de liggende 8 zit echter niet op mijn foon.Maar op een gegeven moment stelt men dat 0,99999999~9 wel 1 zal zijn omdat het verschil oneindig klein is. Ik kan daar best mee leven hoor als dat nodig is om niet helemaal gek te worden.
Blijf het echter gek vinden dat van Pi wel aanvaard wordt dat het oneinig is.
Ik zou zeggen op naar het volgende wiskundig raadsel ...